初三二次函数动点问题(教师版).docx

1、 1 / 5二次函数动点问题1、如图，已知二次函数 y= 的图象与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与 x 轴交于点 D，连接 AC4231x(1)点 A 的坐标为_ ，点 C 的坐标为_ ；(2)线段 AC 上是否存在点 E，使得EDC 为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 P 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC，若所得PAC 的面积为 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 2 个?2、已知抛物线 经过点 B（2 ，0）和点 C（0 ，8） ，且它的对称轴是直线 。)(2acbxy 2x（1）

2、求抛物线与 轴的另一交点 A 坐标； （2）求此抛物线的解析式；（3）连结 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B）不重合，过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连结 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式；（4）在（ 3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由。3、如图，四边形 ABCD 是平行四边形， AB=4，OB =2，抛物线过 A、B、C 三点，与 x 轴交于另一点 D一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从

3、B 点出发沿 BA 向点 A 运动，运动到点 A 停止，同时一动点 Q 从点 D 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动，与点 P 同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E，与 x 轴交于点 F，当点 P 运动时间 t 为何值时，四边形 POQE 是等腰梯形？（3）当 t 为何值时，以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似？4、如图 1，已知抛物线经过坐标原点 O和 x轴上另一点 E，顶点 M的坐标为 (2,4)；矩形 ABCD的顶点 A与点 O重合，AD、AB 分别在x轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3.（1

4、）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形 ABCD以每秒 1个单位长度的速度从图 1所示的位置沿 x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点 P也以相同的速度从点 A出发向 B匀速移动，设它们运动的时间为 t秒（0t3） ，直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 2所示）.当 t= 25时，判断点 P是否在直线 ME上，并说明理由； 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为S，试问 S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 图 2BCO AD EMyxPN图1BCO (A)D EMyx2 / 5yP(x，y)ABCO N D xykx45.已知抛物线 yax 2bx c（

5、a0）的图象经过点 B（12,0 ）和 C（0 ，6） ，对称轴为 x2 （1）求该抛物线的解析式；（2）点 D 在线段 AB 上且 ADAC，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t（秒）和点 Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线 x1 上是否存在点 M 使，MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标，若不存在，请说明理由6、如图，二次函数 y= x2axb 的图像与

6、 x 轴交于 A( ，0)、 B(2，0)两点，且与 y 轴交于点 C；21(1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC 的形状；(2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点 D，且以 A、C 、 D、 B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D 点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点 P，使得以 A、C 、 B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。7如图，抛物线 yax 2bxc 经过原点 O，与 x 轴交于另一点 N，直线 ykx 4 与两坐标轴分别交于 A、D 两点，与抛物线交于点B(1，m)、C( 2，2)(1)求直线与抛物线的解析式(2)若

7、抛物线在 x 轴上方的部分有一动点 P(x，y)，设PON ，求当 PON 的面积最大时 tan 的值(3)若动点 P 保持(2)中的运动线路，问是否存在点 P，使得POA 的面积等于PON 的面积的 ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不815存在，请说明理由xyOQPDBCAyA BCOx3 / 5答案：1、2、解（1）抛物线 的对称轴是直线 由对称性可得 A 点的坐标为（-6 ，0 ）Cbxay2 2x（2）点 C（0，8 ）在抛物线 的图象上 将 A（-6 ，0 ） 、B（2，0）代入表达式得2 8C解得 所求解析式为 也可用 代入 C(0,8)求出 463ba38a3xy(6)yaxa

8、（3）依题意，AE=m，则 BE=8-mOA=6 ，OC=8，AC=10EF/AC BEFAC过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则450mEFABC即 54SininG854 BFECS)8(21)8(21mm421（4）存在.理由如下： 当 m=4 时，S 有最大值，S 最大值=80)4(21212且mSm=4点 E 的坐标为（-2，0） 为等腰三角形BE3、解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，OC=AB=4A（4，2 ） ，B（0，2） ，C（4 ，0） 抛物线 y=ax2+bx+c 过点B，c=2 由题意，有 解得 所求抛物线的解析式为 64,2.ab1,6.ab16yx（2）将

9、抛物线的解析式配方，得 抛物线的对称轴为 x=2D（8，0） ，E（2，2 ） ，F（2，0 ） 24yx欲使四边形 POQE 为等腰梯形，则有 OP=QE即 BP=FQt=63t，即 t= 32（3）欲使以 P、B 、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似，PBO= BOQ =90，有 或 ，即 PB=OQ 或 OB2=PBQOP若 P、 Q 在 y 轴的同侧当 PB=OQ 时，t=83t，t =2当 OB2=PBQO 时，t(83t )=4，即 3t28t+4=0解得 123t，若 P、 Q 在 y 轴的异侧当 PB=OQ 时，3t8=t ，t =4当 OB2=PBQO

10、时，t(3t8)=4 ，即 3t28 t4=0解得t= 0故舍去，t= 当 t=2 或 t= 或 t=4 或 t= 秒时，以 P、B、O 为顶点的三角形与以4273t47474 / 5点 Q、B、O 为顶点的三角形相似4、解：（1） xy42（2）点 P 不在直线 ME 上依题意可知：P（ t, ） ，N（ t， t42）当 30t时，以 P、N、C 、D 为顶点的多边形是四边形 PNCD，依题意可得：PCDSAA= O1+ BCN= 231+ 4t= 32t=21)(t抛物线的开口方向：向下，当 t= 23，且 0t时， 最 大S=1当 0或t时,点 P、N 都重合，此时以 P、N、C、D为

11、顶点的多边形是三角形.依题意可得， ABCDS矩 形1= 32=3 综上所述，以 P、 N、 C、 D为顶点的多边形面积 S存在最大值21/45、解：（1）方法一：抛物线过点 C（0，6）c6，即 yax 2 bx6 由 解得： ， 该抛物线的解析式为2,460ba1a4b2164yx方法二：A、B 关于 x2 对称A（8，0） 设 C 在抛物线上，6a8 ，即 a1/16(8)yax (12)该抛物线解析式为： 164y（2）存在，设直线 CD 垂直平分 PQ，在 RtAOC 中，AC 10AD 点 D 在抛物线的对称轴上，连结 DQ，如图：286显然PDCQDC ，由已知PDCACD QD

12、CACD，DQACDB ABAD201010 DQ 为ABC 的中位线DQ AC5 APAD PDAD DQ105512t515（秒） 存在 t5（秒）时，线段 PQ 被直线 CD 垂直平分在 RtBOC 中，BC CQ2613点 Q 的运动速度为每秒 单位长度35（3）存在如下图，过点 Q 作 QHx 轴于 H，则 QH3，PH9 在 RtPQH中，PQ 29310 MPMQ，即 M 为顶点，设直线 CD 的直线方程为 ykxb（k0） ，则：，解得： y3 x6 当 x1 时，y 3 602bkkbM 1(1，3)当 PQ 为等腰MPQ 的腰时，且 P 为顶点，设直线 x1 上存在点 M（

13、1 ，y ） ，由勾股定理得：4 2y 290，即 y M 2（1， ） ；M 3（1，7474）7 PQ 为等腰MPQ 的腰时，且 Q 为顶点过点 Q 作 QEy 轴于 E，交直线 x1 于 F，则 F（1，3 ） 设直线 x1 存在点M（1，y）由勾股定理得： ，即 y3 M 4（1，3 ） ；M 5（1 ，3 ）2(3)590y65665综上所述，存在这样的五个点：M 1(1，3)；M 2（1， ） ；M 3（1， ） ；M 4（1，3 ） ；M 5（1 ，3 ）77xyOQPDBCAM53M4M2M1FHE xyOQPD BCA5 / 56、(1) 根据题意，将 A( ，0) ，B(2

14、，0)代入 y= x2axb 中，得 ，解这个方程，得210241baa= ，b=1，该拋物线的解析式为 y= x2 x1，当 x=0 时，y=1，点 C 的坐标为(0，1) 。在AOC233中，AC= = = 。在BOC 中，BC= = = 。2OC)1(52OB215AB=OAOB= 2= ，AC 2BC 2= 5= =AB 2，ABC 是直角三角形。154(2) 点 D 的坐标为( ，1)。(3) 存在。由(1)知，AC BC。3 若以 BC 为底边，则 BC/AP，如图 1 所示，可求得直线 BC 的解析式为 y= x1，直线 AP 可以2看作是由直线 BC 平移得到的，所以设直线 A

15、P 的解析式为 y= xb，把点 A( ，0)代入直线 AP1的解析式，求得 b= ，直线 AP 的解析式为 y= x 。点 P 既在拋物线上，又在直线 AP 上，4124点 P 的纵坐标相等，即 x2 x1= x ，解得 x1= ，x 2= (舍去)。当 x= 时，y= ，315253点 P( ， )。253 若以 AC 为底边，则 BP/AC，如图 2 所示。可求得直线 AC 的解析式为 y=2x1。直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的，所以设直线 BP 的解析式为 y=2xb，把点 B(2，0)代入直线 BP 的解析式，求得 b= 4，直线 BP 的解析式为 y=2x4。点 P

16、 既在拋物线上，又在直线 BP 上，点 P 的纵坐标相等，即 x2 x1=2x4，解得 x1= 3 ，x 2=2(舍去) 。当 x= 时， y= 9，点 P 的坐标为( ， 9)。综上所述，满足题目条件的点 P 为( ， )或( ，9) 。52525 527、解：（1）将点 C（2，2 ）代入直线 y=kx+4，可得 k=-1 所以直线的解析式为 y=-x+4 当 x=1 时，y=3，所以 B 点的坐标为（1， 3）将 B、C、O 三点的坐标分别代入抛物线 y=ax2+bx+c，可得 解得 ，所以所求的抛物线为 y=-2x2+5x（2）因为 ON 的长是一定值，所以当点 P 为抛物线的顶点时，

17、PON 的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（ ） ，此时tanPON= （3）存在；把 x=0 代入直线 y=-x+4 得 y=4，所以点 A（0 ，4） ，把 y=0 代入抛物线 y=-2x2+5x 得 x=0 或 x= ，所以点 N（ ，0） ，设动点 P 坐标为（x，y） ，其中 y=-2x2+5x （0x ）则得：S OAP = |OA|x=2x，S ONP = |ON|y= （-2x 2+5x）= （-2x2+5x）由 SOAP = SONP ，即 2x= （-2x 2+5x） ，解得 x=0 或 x=1，舍去 x=0 得 x=1，由此得 y=3 所以得点 P 存在，其坐标为（1 ， 3） yA BCOxPyA BCOPx