四边形中的旋转、折叠问题.doc

1、 四边形中的旋转、折叠问题例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO将纸片翻折后，点 B 恰好落在x 轴上，记为 B，折痕为 CE，已知 tanOBC 34（1）求 B 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式例题：（1）如图， ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O。直线 EF 过点 O，分别交 AD、BC 于点E、F求证：AE=CF。（2）如图，将 ABCD（纸片）沿过对角线交点 O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1 处，点 B 落在点B1 处。设 FB1 交 CD 于点 G， A1B1 分别交 CD、DE 于点 H、I。求证：EI=FG

2、。例题：（2012 德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH（1）求证：APB= BPH；（2）当点 P 在边 AD 上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由（2012南宁） 如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4将

3、纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O（1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC 的中点；（3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF ，DCAB，EFG=AGF，EFG=EGF，EF=EG=AG，四边形 AGEF 是平行四边形（EF AG，EF=AG） ，又 AG=GE，四边形 AGEF 是菱形（2）连接 ON，AED 是直角三角形，AE

4、 是斜边，点 O 是 AE 的中点，AED 的外接圆与 BC 相切于点 N，ONBC，点 O 是 AE 的中点，ON 是梯形 ABCE 的中位线，点 N 是线段 BC 的中点（3）作 OMAD，设 DE=x，则 MO= x，在矩形 ABCD 中，C= D=90，故 AE 为AED 的外接圆的直径延长 MO 交 BC 于点 N，则 ONCD，四边形 MNCD 是矩形，MN=CD=4，ON=MNMO=4 x，AED 的外接圆与 BC 相切，ON 是 AED 的外接圆的半径，OE=ON=4 x，AE=8x，在 RtAED 中，AD 2+DE2=AE2，22+x2=（8x） 2，得 x=DE= ，OE

5、=4 x= ，FEOAED， = ，解得：FO= ，第 17 题CB G FE DAFG=2FO= 故折痕 FG 的长是 对应练习1.（2012泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4 ，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点E、O，连接 CE，则 CE 的长为（ ）2.（2012泰安）如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，B=120 ，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转 105至 OABC的位置，则点 B的坐标为（ ）3.（2012泰安）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2，B

6、C=3 ，则FCB与BDG 的面积之比为（ ）4.如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为_5.矩形纸片 ABCD 的边长 AB=4，AD=2将矩形纸片沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，折叠后在其一面着色（如图） ，则着色部分的面积为（ ）(试题82页）AB CDDCNMF(第 10 题)6.（2010 山东潍坊）如图，直角梯形 ABCD 中，ABBC，ADBC，BC AD，AD2，AB4，点 E 在 AB 上，将CBE 沿 CE 翻折，使B 点与 D 点重合，则BCE

7、 的正切值是_(89页)7.梯形中的对角线（88 页）8.如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开） ，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【 】(A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个9 如图所示，把一长方形纸片沿 MN 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C的位置若AMD36，则NMD 等于（A）144 （B）126 （C）108 （D）7210.一副三角板按图 1 所示的位置摆放.将DEF 绕点 A（F）逆时针旋转 60后（图 2） ，测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为(A) 75cm2(B) c

8、m2)35(C) cm2ABCD E(F) B A(F)DECG(第 8 题)图 2图 1(D) cm2)3502(例题：在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG 且 EGCG.（1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.解（1）EG=CG EGCG-(2 分)（2）EG=CG EGCG-(2 分)证明：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MGAEM=90，EBC=90，BCM=90四边形 BEMC 是矩形.BE=CM，EMC=90又BE=EFEF=CMEMC=90，FG=DGMG= FD=FGBC=EM ，BC=CDEM=CDEF=CMFM=DMF=45又 FG=DGCMG= EMC=45F=GMCGFEGMCEG=CG ，FGE= MGC-(2 分)FMC=90 ，MF=MD， FG=DG MGFDFGE+EGM=90MGC+EGM=90即EGC=90EGCG- ( 2 分)