1、毕业设计开题报告 信息与计算科学 两点边值问题的有限元解法 一、综述本课题国内外研究动态 , 说明选题的依据和意义 有限元方法 1 已成为当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法 , 从数学上看 , 这种方法起源于变分法 , 是古典的变分法与分片多项式插值相结合的产物 2 , 20世纪 50 年代初 , 从事航空工程、土木结构、水利建设的工程师们开始应用和发展一种用离散模型代替连续模型的方法求解各种结构力学问题 , 并且逐渐波及各个连续场领域 ,随 后 就 诞生了 “有限元方法 ”这一名称 . 到了 20 世纪 60 年代 , 我国以冯康院士为首的计算数学家和国外的科学家几乎同时在不同实践的基础
2、上各自创立和运用这种方法 , 并且建立了有限元方法的数学理论 . 由于越来越多的数学家加入了发展有限元方法的行列 , 使这种方法逐渐摆脱了工程问题的局限性 , 成为一种具有严密数学基础的求解微分方程定解问题的有效方法 5,4,3 . 本文的主要工作首先是将两点边值问题 6 0)(,0)(),()(buaubxaxfqudxdupdxdLu 其中 0)(),(0)(),()()(0m i n1xqICqpxpICpICxf参考文献 23, 可将上述问题转化为等价的变分问题 求 )(1 IHu E , 使 )(),(),( 1 IHvvfvua E , 其中 babav d xfvfdxquvdx
3、dvdxdupvua),()(),( 然后 , 将 )(1 IHE 的试探函数和检验函数子空间均取为 hEV , 可得近似变分问题（参考文献 7） 1 求 hEh Vxu )( , 使 hEhhhh Vvvfvua ),(),( 再将上述问题等价的写成有限元方程的形式 求 nj jjh xuxu 1 )()( , 使 nifua jjh ,2,1),(),( , 其中 njxj ,2,1),( 为线性元空间 hEV 的 Lagrange节点基函数 . 于是 , 得到相应的矩阵表达形式 bAU 其中 ),(),( ),(),( 1 111 nnn naa aaA , ),(),( 1nffb 这
4、样 , 我们就得到了两点边值问题的有限元求解方法 , 最后 , 我们可以试着讨论具体的模型问题 0)1(,0)0(10,2s in24 2uuxxuuLu , 我们可以利用中矩形近似计算积分 , 代入上述问题的有限元方程 , 可以较为精确求出上述问题的数值解 . 结合文献 8、 9、 10提供的丰富的理论知识 , 我们可以试着探讨更广泛的一些问题的有限元方法求解 . 二、研究的基本内容 , 拟解决的主要问题 研究的基本内容 : 两点边值问题的变分方法 、 有限元法 . 解决的主要问题 : 两点 边值问题的变分形式的讨论 .两点边值问题的有限元解法 . 三、研究步骤、方法及措施 研究步骤 : 1
5、. 查阅相关资料 , 做好笔记 ; 2. 仔细阅读研究文献资料 ; 3. 翻译英文资料 ; 4. 撰写文献综述 ; 5. 撰写论文初稿 ; 2 6. 上交并反复修改论文 ; 7. 论文定稿 . 方法、措施 : 通过到图书馆、上网等查阅收集大量资料 , 参考相关内容 .在老师指导下 , 与同组同学研究讨论 , 用文献综合的方法来解决问题 . 四、 参考文献 1 R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975. 2 冯康 . 基于变分原理的差分格式 . 应用数学与计算数学 , 1965, 2(4):237-261. 3 王声望 , 郑维
6、行等编著 . 实变函数与泛函分析概要 M. 北京 : 北京大学出版社 , 1987. 4 王烈衡 , 许学军编著 . 有限元方法的数学基础 M. 北京 : 科学出版社 , 2004. 5 李开泰 , 黄庆怀编著 . 有限元方法及其应用 M. 北京 : 科学出版社 , 2006 6 李荣华 . 偏 微分方程数值解法 M . 北京 : 高等教育出版社 , 2005 7 舒适 . 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析 . 内部讲义 , 2007, 5-68 8 李荣华 . 边值问题的 Galerkin 法 M . 北京 : 科学出版社 , 2005 9 陈传淼 , 黄云清 . 有限元高精度理论 . 湖南科技出版社 , 1995 10 A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166
