渐近非扩张映像与渐近拟非扩张映像的迭代逼近问题【文献综述】.doc

1、 0 毕业设计文献综述 信息与计算科学 渐近非扩张映像与渐近拟非扩张映像的迭代逼近问题 非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴 , 是泛函分析理论和应用的一个重要组成部分 , 它们的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分 , 而且在 微分方程 , 积分方程 , 力学 , 控制论 , 对策论 , 经济平衡理论 , 交通运输 , 社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用 . 因此 , 研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义 , 而且也具有重要的应用价值 . 非线性算子 的不动点理论在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着 重要的作用 . 1895-1900 年间 , 法国

2、数学家 H. Poincare 在代数拓扑学中使用了不动点概念 . 1910 年 , L.E.J.Brouwer 1 证明了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点 . 1922 年 , G. D. Birkhoff. Kellogg 2 作出了一些改进和应用 , 而波兰数学家 Banach3 更一般地处理了这个问题 , 并提出了 著名的 Banach 压缩映像原理 . Brouwer 不动点定理 设 D 是 nR 中的某有界凸闭集 , :T D D 连续 , 则 T 在 D 内必有不动点 . Banach 压缩映像原理 设 X 是完备的距离空间 , :A X X 是压缩映像 , 则 A

3、 在 X中具有唯一的不动点 , 即存在唯一的 *x , 使 * ( )x Ax . 自 Banach压缩映像原理和 Brouwer不动点定理问世以来 , 特别是最近二三十年来 , 由于实际需要的推动和数学工作者 的不断努力 , 这门学科的理论及应用研究已取得重要的进展 , 并且日趋完善 . 而非线性算子的类型很多 , 其中 渐近拟非扩张映像 4 与渐近非扩张映像 5是两类非常重要的非线性映像 . 非扩张映像是压缩映像的一种推广 , 在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用 , 它在近代数学许多分支都有应用 , 特别是在非线性半群 , 遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用 . 随着非扩张映

4、像不动点理论的发展 , 学者们得出了关于非扩张映像的一系列结论 . 其中 , 非扩张映像的定义为 : 设 C 是 Banach 空间 E 的非空闭凸子集 , 则 :T C C 称为非扩张映像 , 如果对任意的,xy C , 有 | | | |Tx Ty x y .若 C 是 一致凸 Banach 空间 E 的非空闭凸子集 , 那么每一1 个非扩张映像有不动点 . 1955 年 , Krasnoselseii6 证明了如下的关于非扩张映像的收敛定理 . 定理 KR 设 X 是一致凸 Banach空间 , C 是 X 的有界闭凸子集 , 若 :T C C 是非扩张映像 , ()TC是紧集 , 且

5、0x 是 C 中任意给定的点 , 则有下列定义的映像12 :T C C, 12 1122T x x Tx, 序列 nx 是由下列定义的 , 1 11 ( 0 ) , 0 , 122n n nx x T x n 则序列 nx 强收敛于 T 的不动点 . 1957 年 , Scheafer7 在定理 KR 的条件下 , 证明了如下定义的序列 : 1 (1 ) ( 0 )n n nx x Tx n , 强收敛于 T 的不动点 . 渐近非扩张映像是非扩张映像的推广 , 由 Goebel和 Kirk 4 在 1972年首先引入的 , 渐近非扩张映像的定义是 : 映像 :T C C 称为渐近非扩张映像 .

6、 如果 , , n N x y E , 存在序列 1, 1nnkk ()n 满足 | | | |nn nT x T y k x y . 同时给出了下面的定理 : 令 X 是一致凸 Banach 空间 , 且 C 是 X 的有界闭凸子集 . 则每个渐近非扩张映像:T C C 有不动点 . 渐近拟非扩张映像的定义是 : 映像 :T C C 称为渐近拟非扩张 . 如果存在一序列 nk 满足条件 1,nk , 且lim 1nn k , 使得对于 ,x E p F T ( FT 是不动点集合 ), n nT x p k x p 成立 . 然而 , 非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题 , 而

7、对于一些具体的非线性算子方程不动点的求解是十分困难的 . 因此 , 数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来2 求解这些方程 , 其中 Picard 给出了最早的迭代序列 , 其具体格式为 : 01, , 0.nnxCx Tx n 但是 Banach 压缩原理证明中所用的 Picard 迭代方法对于非扩张映像却未必是收敛的 , 之后 Mann8 受到 Banach 压缩映像原理的启发 , 在 1953 年提出了如下的迭代序列 : 01,(1 ) , 0.n n n n nxCx t x t T x n 称之为正规 Mann 迭代序列 . 1976 年 , Ishikawa 推广了 Mann 迭代

8、格式 , 得到了如下的 Ishikawa 迭代序列 : 01,(1 ) , 0 ,(1 ) , 0 .n n n n nn n n n nxCx t x t T y ny s x s T x n 相比于 Mann 迭代序列 , Ishikawa 迭代序列更为一般化且包含了 Mann 迭代序列 (当上述的 ns取为零时 , Ishikawa迭代序列就转化成了 Mann迭代序列 ). 在一般情况下 , 无论是 Mann迭代序列还是 Ishikawa 迭代序列对非扩张映像和渐近非扩张映像只有弱收敛 . 但是若在对算子T 外加完全连续或对集合 C 加紧性等限制条件时 , Mann 迭代序列或 Ishi

9、kawa 迭代序列对非扩张映像和渐近非扩张映像可获得强收敛定理 . 因此 , 近年来很多专家学者致力于修正Mann 迭代序列和修正 Ishikawa 迭代序列 , 从而在没有对算子外加其他限制的条件下 , 对于非扩张和其他更为广泛的压缩映像等获得强收敛定理 . 2003 年 , 田有先在文献 9中研究了渐近非扩张映像迭代序列的稳定性 , 给出了在一致凸的 Banach 空间内 , 渐近非扩张映像的 Mann 迭代序列的收敛性与 T -稳定性的证明 . 2007 年 , 金晓菁和徐小平在文献 10中提出了以下的结论 如果 C 是一致凸 Bananch 空间 X 的非空子集 , :T C C 是渐

10、近非扩张的 , 且满足条件 ( 1)n nk . 序列 nx 是由 MIS生成的 , 0 1, lim 0nnna s b t , 则 nx 强收敛到 T 的不动点 . 其中 MIS 为修改的 Ishikawa 迭代 . 2009年 , 文 献 11中 , 李智 , 竹林和崔云安证明了在实 Banach空间中当 T是渐近拟非扩张映射时 , 三步迭代具误差序列收敛到 T 的不动点 . 本文将通过 构造渐近非扩张映像的修正 Mann 型 迭代序列和修正 Ishikawa 型 迭代序列 , 以及渐近拟非扩张映像的具误差的修正 Mann型 迭代序列和具误差的修正 Ishikawa型 迭代序3 列 来研

11、 究渐近非扩张映像与渐近拟非扩张映像的 不动点的迭代逼近问题 . 参考文献 1 L.E.J. Brouwer. Uber Abbildung von Manigfaltigkeiten J. Math. Ann., 1912, 71: 97114. 2 S. Banach. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aus equations integreles J. Fund. Math., 1922, 3: 133181. 3 F.E. Browder. Nonlinear operators

12、and nonlinear equations of evolution in Banach spaces J. Proc. Symp. Pure. Math., 1976, 18: 7881. 4 K. Goebel and W.A. Kirk. A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings J. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, 35(1): 139144. 5 M.A. Krasnoselskii. Two observations about the method of succe

13、ssive approximations J. Usp. Math. Nauk., 1955, 101: 123127. 6 H. Schafer. Uber die Methode sukzessiver Approximationen J. Jber. Deutch. Math. Verein., 1957, 59: 147150. 7 W.R. Mann. Mean value methods in iteration J. Proc. Amer. Math. Soc., 1953, 4: 506510. 8 S. Ishikawa. Fixed point by a new iteration method J. Proc. Amer. Math. Soc., 1974, 44: 147150. 9 田有先 . 渐近非扩张映像 Mann 迭代程序收敛性与稳定性 J. 四川师范大学学报 (自然科学版 ), 2003, 26(4): 348351. 10 金晓菁 , 徐小平 . 一致凸 Banach 空间中渐近非扩张映像不动点的 Ishikawa 收敛定理的改进与推广 J. 泰州职业技术学院学报 , 2007, 7(6): 1618. 11 李智 . 渐进拟非扩张映射的具误差三步迭代的收敛定理 J. 哈尔滨师范大学自然科学报， 2003,14(9): 123126.