2011年浙江省高中数学竞赛试题解答.doc

1、2011 年浙江省高中数学竞赛试题 参考 解答 与评分标准 一、 选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分） 1. 已知 53 , 42 ，则 1 s in 2 1 s in 2 可化简为（ D ） A 2sin B. 2sin C. 2cos D. 2cos 解答：因为 53 , 42 ，所以 1 s in 2 1 s in 2 = c o s sin c o s sin 2cos 。正确答案为 D。 2如果复数 21a i i的模为 4，则实数 a 的值为（ C ） A. 2 B. 22

2、C. 2 D. 22 解答： 由题意得 22 4 4 2aa 。 正确答案为 C。 3. 设 A ， B 为两个互不相同的集合，命题 P： x A B ， 命题 q： xA 或 xB ，则 p 是 q的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答： P 是 q 的充分非必要条件。 正确答案为 B。 4. 过椭圆 2 2 12x y的右焦点 2F 作倾 斜 角为 45 弦 AB，则 AB 为（ C ） A. 263 B. 463 C. 423 D. 433 解答：椭圆的右焦点为（ 1， 0），则弦 AB 为 1,yx 代入椭圆方程得

3、 221 2 1 24 4 23 4 0 0 , 2 ( )33x x x x A B x x 。正确答案为 C。 5. 函数 1 5 0()5 1 0xxxfx x ，则该函数为（ A ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数 、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加 的 奇函数 。正确答案为 A。 6. 设有一立体的 三视图 如下，则 该 立体体积为（ A ） 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+ 52 B. 4+ 32 C. 4+2D. 4+ 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了

4、一部分（2），所以该几何体的体积为 52 2 1 3 422 。正确答案为 A。 7某程序框图如右图 所示，现将输出（ ,)xy值依 次记为： 1 1 2 2( , ) , ( , ) , , ( , ) , ;nnx y x y x y若程序运行中 输出的一个数组是 ( , 10),x 则数组中的 x （ B ） A 64 B 32 C 16 D 8 答案 经计算 32x 。正确答案为 B。 8. 在平面区域 ( , ) | | 1, | | 1x y x y上恒有 22ax by，则 动 点( , )Pab 所形成平面区域的面积为（ A ） A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答：

5、平面区域 ( , ) | | 1, | | 1x y x y的四个边界点（ 1， 1） ，（ 1，1），（ 1， 1），（ 1， 1）满足 22ax by，即有 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2a b a b a b a b 由此计算 动 点 ( , )Pab 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 已知函数 ( ) s in ( 2 )6f x x m 在 0,2上有两个零点，则 m 的取值范围为（ C ） 2 2 2 2 1 2 2 3 1 A. 1, 12B 1, 12C. 1, 12D. 1, 12 解答：问题等价于函数 ( ) sin(2 )6f x x 与直线

6、 ym 在 0,2上有两个交点，所以 m 的取值范围为 1, 12。正确答案为 C。 10. 已知 1,1a ，则 2 ( 4 ) 4 2 0x a x a 的解为（ C ） A. 3x 或 2x B. 2x 或 1x C. 3x 或 1x D. 13x 解答：不等式的左端看成 a 的一次函数， 2( ) ( 2 ) ( 4 4 )f a x a x x 由 22( 1 ) 5 6 0 , ( 1 ) 3 2 0 1f x x f x x x 或 3x 。 正确答案为 C。 二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空 7 分，共 49 分） 11. 函数 ( ) 2

7、s in 3 c o s2xf x x的最小正周期为 _4 _。 解答：最小正周期为 4 。 12. 已知等差数列 na 前 15 项的和 15S =30，则 1 8 15a a a =_6_. 解答：由 1 5 13 0 7 2S a d ，而 1 8 1 5 13 ( 7 ) 6a a a a d 。 13. 向量 (1,sin )a ， (cos , 3)b ， R ，则 ab 的取值范围为 1， 3 。 解答： 22( 1 c o s ) ( s i n 3 ) 5 2 ( c o s 3 s i n )ab = 5 4 sin( )6 ，其最大值为 3，最小值为 1，取值范围为 1，

8、 3。 14. 直三棱柱 1 1 1ABC ABC ，底面 ABC 是正三角形， P， E 分别为 1BB ， 1CC 上的动点（含端点）， D 为 BC 边上的中点，且 PD PE 。则直线 ,APPE 的夹角为 _90 _。 解答：因为平面 ABC平面 11BCCB ， AD BC，所以 AD平面 11BCCB ，所以 AD PE，又 PE PD， PE平面 APD，所以 PE PD。即夹角为 90 。 15 设 yx, 为实数 ，则 )(m ax 221045 22 yxxyx_4_。 解答： 2 2 2 25 4 1 0 4 1 0 5 0 0 2x y x y x x x 2 2 2

9、 2 2 2 24 ( ) 1 0 2 5 ( 5 ) 2 5 3 4x y x x x x y 16. 马路上有编号为 1， 2， 3， 2011 的 2011 只路灯，为节约用电要求关闭其中的 300 只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有 _ 3001710C _种。（用组合数符号表示） 解答：问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯，所以共有 3001710C 种关灯方法。 17. 设 zyx , 为整数，且 3,3 333 zyxzyx ， 则 222 zyx _3 或 57_。 解答： 将 3z x y 代入 3333 zyx 得到

10、 83 ( ) 9xy x y xy ，因为 ,xy都是整数，所以 1 4 2 8, , , ,2 5 1 1 6x y x y x y x yx y x y x y x y 前 两 个 方程 组 无 解； 后 两个 方 程组 解 得1 ; 4 , 5x y z x y z 。所以 222 yx 3 或 57。 三 、 解答 题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设 2a ，求 xxy )2( 在 2 ,a 上的最大值和最小值。 解答：当 20 , ( 1) 1,x y x 当 20, ( 1) 1,x y x - 5 分 由 此 可知 max 0y 。 - 10

11、 分 当 2m in1 2 , 2a y a a ；当 m in1 2 1, 1ay ； 当 2m in1 2 , 2a y a a 。 - 17 分 19. 给 定 两 个 数 列 nx ， ny 满足 100 yx ， )1( 2 11 nxxx nnn， )1( 21 12 1 nyyy nnn 。证明对于任意的自然数 n，都存在自然数 nj ，使得 njn xy 。 解答：由已知得到： 111 2 1 1 11 1 2 ( 1 ) 1 n n n n nx x x x x 为等比数列，首项为 2，公比为 2， 所以 111112 21n n nn xx 。 - 5 分 又由已知， 2

12、22111 1 1( 1 ) 1 1 111 ( ) 1 ( 1 )12 n n nnn n n n ny y yy y y y y y 由01 1 121 2 1 2221nnn ynyy ， 所以取 21n nj 即可。 - 17 分 20. 已知椭圆 22154xy，过其左焦点 1F 作一条直线交椭圆于 A， B 两点， D(,0)a 为 1F 右侧一点，连 AD、 BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。 解答：1 25( 3 , 0 ) , 3Fx 左 准 线 方 程 为 ;AB 方 程 为( 3)( )y k x k 为 斜 率。 设

13、1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由11625)3(22 yxxky 2 2 2 2( 1 6 2 5 ) 1 5 0 2 2 5 4 0 0 0k x k x k 得2 2 221 2 1 2 1 2 1 22 2 21 5 0 2 2 5 4 0 0 2 5 6, ( 3 ) ( 3 )1 6 2 5 1 6 2 5 1 6 2 5k k kx x x x y y k x xk k k -10分 设342 5 2 5( , ), ( , )33M y N y。由 M、 A、 D 共线 1234( 3 2 5 ) ( 3 2 5 ),3 ( ) 3 ( )a y a yyya x a x同 理。 又1 3 1 4 1 1 1 11 6 1 6( , ) , ( , ) , 033F M y F N y F M F N F M F N 由 已 知 得，得2 123 4 3 4 123 2 5 )256 ,9 9 ( ) ( )a y yy y y y a x a x （而 ， 即2225616 25kk2123 25)9( )( )aa x a x（ = 256,9 整理得 22( 1 ) ( 1 6 4 0 0 ) 0 5 , 3 , 5k a a a a 又 所 以。 -17 分