基于集值函数的粗糙近似算子及其性质【毕业论文】.doc

1、毕业论文 文客久久 本科 毕业设计 (论文 ) 题 目： 基于集值函数的粗糙近似算子及其性质 学 院： 学生姓名： 专 业： 信息与计算科学 班 级： 指导教师： 起 止 日期： 毕业论文 文客久久 摘要 粗糙集理论是波兰数学家 Pawlak Z 于 1982 年提出的一种数据分析理论 . 在这之后 , 许多数学家 , 计算机研究人员和逻辑学家对粗糙集产生了很大的兴趣 , 并且在粗糙集的理论和应用方面做了大量的研究 . 原始的 Pawlak 粗糙集 近似算子的定义与模型的推广是粗糙集理论 研究的 主要 方向 之一 . 基于集值函 数的粗糙集模型是经典 Pawlak 粗糙集模型的推广 , 是研究

2、随机集和证据理论的基础 . 本文主要讨论由集值函数导出的粗糙近似算子及其性质 . 首先 , 回顾经典粗糙集的基本概念及其性质 . 其次 , 引进由集值函数定义的粗糙近似算子的概念 , 给出近似算子的基本性质 . 最后 , 给出用导出的近似算子去刻 划 所给集值 函数 的一些特殊性质 . 本文主要通过分析基本的粗糙近似算子性质来研究集值函数下的粗糙近似算子的性质 . 关键词 : 集值函数 ; 粗糙集 ; 近似算子 毕业论文 文客久久 Rough Approximation Operators Based on Set-valued Functions and Its Properties Abs

3、tract Rough set theory is a data analysis theory proposed by Poland mathematician Pawlak in 1982. After this, many mathematicians, computer researchers and logician show a lot of interests and research in rough set theory and applications. Original Pawlak rough set approximation operaters of definit

4、ion and model promotion is one of the rough set theory. Rough set model based on set-valued functions is the promotion of classical Pawlak rough set model, is the basis of random sets study and the basis of evidence theory. This article focuses on discussing a rough approximation operators exported

5、by the set-valued function and its properties. First, review the classical rough set concept and its nature; Second, introduce the concepts of rough approximation operators defined by set-valued function, giving the basic nature of the approximation operators. Finally, use the exported approximation

6、 operators to portray the special nature of the given set-valued function. This article mainly through the analysis of the basic rough approximation operator to study the nature of rough approximation operators based on the set-valued function. Keywords: Set-valued function; Rough sets; Approximatio

7、n Operator 毕业论文 文客久久 目录 摘要 .I Abstract. II 1 前言 . 1 1.1 粗 糙集的由来和发展 . 1 1.2 粗糙集模型的扩展 . 1 1.3 论文的组织结构 . 2 2 粗糙集理论的基本概念及性质 . 3 2.1 等价关系的定义 . 3 2.2 近似算子与粗糙集 . 4 2.3 粗糙近似算子的基本性质 . 6 3 基于集值函数的粗糙近似算子的定义 . 8 3.1 集值映射的定义 . 8 3.2 基于集值函数的粗糙近似算子的定义 . 8 4 基于 集值映射的粗糙近似算子的性质 . 9 4.1 基于集值映射的粗糙近似算子的基本性质 . 9 4.2 近似算子

8、的特殊性质 . 12 4.3 集值映射下的关系划分函数 . 18 4.4 近似算子与关系划分函数 . 19 5 小结 . 21 参考文献 . 22 致谢 . 23 毕业论文 文客久久 1 前言 1.1 粗糙集的由来和发展 粗糙集理论是波兰数学家 Pawlak Z 于 1982 年提出的一种能够定量分析处理不精确 , 不一致 , 不完整信息与知识的数学工具 1 . 在这之后 , 许多数学家 , 计算机研究人员和逻 辑学家对粗糙集产生了很大的兴趣 , 并且在粗糙集的理论和应用方面做了大量的研究 . 粗 糙集理论 最初的模型来源于相对比较简化的信息模型 , 它的基本思想是通过关系数据库来归纳分类形成

9、概念和规则 , 通过等价关系的分类加之分类对于目标的近似达到并实现知识发现 2 . 粗糙集理论不需要先验知识 , 其在保持分类能力的前提下对属性和属性值进行约简 , 获取最小的规则集 , 而且获取的规则易于被解读和说明 . 由于粗糙集理论产生的思想比较新颖 , 粗糙集理论成为重要的智能信息处理技术 3 的一种 , 该理论已经在机器学习 , 知识发现 , 数据挖掘 , 粗糙控制 4 , 工业控制 5 等方面得到广泛应用 . 近几年 , 粗糙集理论的研究日益成为数学领域知识研究的重点 . 越来越多的学者置身于粗糙集理论的研究中 , 并且取得了很好的成果 . 经典粗糙集理论的中心内容是粗糙上近似算子

10、和粗糙下近似算子 (也称作上下近似集 ). 经典 Pawlak 模型中的不分明关系是一种等价关 系 , 因此限制了粗糙集模型的应用和发展 . 因此 , 推广定义粗糙下近似算子和粗糙上近似算子成为了粗糙集理论研究的一个重点 . 事实上 , 有两种形式来描述粗糙集 , 一种是用集合的观点 , 一种是用算子的观点来进行 . 那么 , 从不同观点采用不同的研究方法就得到粗糙集的各种拓展模型 . 拓展模型的研究以及基于其上的应用研究已经成为新的研究热点 . 目前 , 对粗糙集理论的研究集中于数学性质 , 粗糙集扩展模型与其它不确定方法的关系和互补以及有效方法等方面 . 集值映射的粗糙集模型就是粗糙集模型

11、的一种扩展 , 该理论在随机集 , 证据理论等方面现已有应用 . 所以 , 对它进行深入的研究具有理论意义和广泛的实际意义 . 1.2 粗糙集模型的扩展 为了推广粗糙集理论的应用范围 , 人们对 Pawlak 粗糙集模型进行了多种方式的推广 , 相继出现了基于一般关系的粗糙集模型 6 , 模糊粗糙集模型 7 , 基于覆盖理论的粗糙集模毕业论文 文客久久 型 , 基于集值映射的粗糙集模型等 . 在这些粗糙集模型中 , 近似算子分别具有多种不同的定义方式 . 而粗糙近似算子的定义一般有两种方 法 , 一种是构造性的方法 , 另一种是公理化的方法 . 构造性方法是以论域上的二元关系作为它的要素 ,

12、用构造性的方法定义粗糙下近似算子和粗糙上近似算子 . 该方法研究的问题主要是来源于实际 , 因而建立的模型有很强的实用背景 . 我们也可以将论域上的一般二元等价关系推广到基于相似关系的粗糙集模型 8 , 甚至还可以推广到基于任意二元关系的广义的粗糙集模型 ; 另一方面 , 将对象所在的等价类看成是的一个邻域 , 从而可以导出邻域粗糙近似算子和基于邻域系统的粗糙集模型以及基于 随机集的粗糙集模型 ; 也可以将二元等价关系导出的等价类推广成为基于一般的布尔代数的等价类 , 以此出发去定义粗糙集和近似算子 . 从映射的角度出发 , 导出一种集值函数 , 然后定义该函数下的粗糙近似算子 , 从而可以得

13、到基于集值映射的粗糙集模型 9 . 事实上 , 基于一般二元关系的广义近似算子以及覆盖近似算子都是基于集值映射的近似算子的特例 , 而且多数的近似算子可以借助基本近似算子通过复合运算产生 . 因而 , 讨论及与集值函数的粗糙近似算子及其性质具有重要的意义 . 1.3 论文的组织结构 本文主要 研究了基于集值函数的粗糙近似算子及其性质 . 是对粗糙集模型扩展的深入研究 . 本文第一部分回顾了粗糙集理论的由来和发展 . 第二部分 回顾了 粗糙集理论的基本概念及性质 . 第三部分介绍了集值映射和集值函数下粗糙近似算子的基本概念 . 第四部分是本文的中心 , 给出 了 用导出的近似算子去 刻画 所给集

14、值函数的一些特殊性质 . 通过论述 , 我们对粗糙集模型及其扩展将会有进一步深入的认识 . 毕业论文 文客久久 2 粗糙集理论的基本概念及性质 粗糙集理论是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具 . 它是一种数据分析的数学理论 . 目前 , 粗糙集理论已被成功地应用于机器学习与知识发现 , 数据挖掘 , 模式识别与智能信息处理等等领域 . 近些年 , 越来越多的研究人员投入到对粗糙集理论和粗糙集扩展模型的研究中来 . 通过各种二元关系可以导出各种各样的近似算子 , 从而用近似算子来进一步研究粗糙集理论 . 下面着重介绍一种特殊的二元关系即等价关系 . 2.1 等价关系的定义 设 U 是我们感兴趣

15、的对象组成的有限集合 , 称为论域 . 设 U 是一个非空 有限集合 , R U U是 U 上的一个二元关系 . 定义 2.1 称二元关系 R 是自反的 , 若 xU , 有 xRx . 定义 2.2 称二元关系 R 是对称的 , 若 ( , )x y U U , xRy 蕴涵 yRx . 定义 2.3 称二元关系 R 是传递的 , 若 ,x y z U, xRy 与 yRz 蕴涵 xRz . 定义 2.4 非空有限集合 U 上的 二元关系 R 称为一个等价关系 , 如果它是自反的 , 对称的 , 传递的 . 例 2.1 设 1,2,3,4U , 且 ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 )

16、 , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 4 ) R . 则此时的关系 R 就是一个等价关系 . 设 R 是 U 上的一个等价关系 , /UR表示 R 的所有等价类 (或者 U 上的分类 )构成的集合 , Rx 表示包含元素 xU 的 R 等价类 . 设 U 是一非空有限集合 , R 是 U 上的一个等价关系 , 称二元组 ( , )UR 为一个 Pawlak近似空间 . 粗糙集理论中的一个重要内容就是粗糙下近似算子和粗糙上近似算子的基本概念和性质 . 很多对粗糙集理论的研究都是通过对粗糙近似算子所

17、具有的性质的研究来实现的 . 下面给出粗糙近似算子的定义 . 毕业论文 文客久久 2.2 近似算子与粗糙集 令 XU , R 是 U 上的一个等价关系 . 当 X 能表达成某些 R 等价类的并时 , 称为 X是 R 可定义的 ; 否则称为 X 为 R 不可定义的 . 设 R 为论域 U 上的一个等价关系 , R 可定义集是论域的子集 , 它在近似空间中精确地定义 , 而 R 不可定义集不能在这个近似空间中定义 . R 可定义集也称作 R 精确集 , 而 R 不可定义集称为 R 非精 确集或 R 粗糙集 . 对于粗糙集可以近似地定义 , 我们使用两个精确集 , 即粗糙的下近似和上近似来进行描述

18、. 定义 2.510 U 是非空有限集合 , R 是 U 上的一个等价关系 , 设 ( , )UR 为近似空间 , 有两个子集 ( ) | RR X x U x X , ( ) | RR X x U x X . 分别称他们为 X 的 R 下近似集和 R 上近似集 ; 分别称 R , R 为 R 的下近似算子和上近似算子 . ( ) ( ) ( )RR N X R X R X. 称为 X 的 R 边界域 ; 它可以阐述为推断出可能属于 X 但又不能完全确定是否一定属于 X的对象所组成的集合 . ( ) ( )Rpos X R X . 称为 X 的 R 正域 ; 它可以阐述为那些可以推断出一定属于

19、 X 的对象所组成的集合 . ( ) ( )Rneg X U R X. 称为 X 的 R 负域 ; 它可以阐述为那些可以判断出一定不属于 X 对象所组成的集合 . 由以上定义 , 显然可知 ( ) ( ) ( )RRR X p o s X R N X . 例 2.1 近似集的图形表示 图 2.1 毕业论文 文客久久 下近似 =正域 上近似 边界域 综合图 例 2.2 根据表求上下近似 表中内容是关于教育程度与是否找到好工作的关系 表 2.1 姓名 教育程度 是否找到好的工作 王治 高中 否 马丽 高中 是 李德 小学 否 刘宝 大学 是 赵凯 博士 是 根据表格 设 A 表示找到了好的工作的人

20、的集合 , 那么 A =马丽 , 刘宝 , 赵凯 . 设 C 表示属性教育程度所构成的一个等价关系 , 根据教育程度的不同 , 该论域被分割成四个等价类 : 王治 , 马丽 , 李德 , 刘宝 , 赵凯 . 毕业论文 文客久久 王治和马丽在同一个等价类中 , 他们都是高中文化程度 , 是不可分辨的 . 则有 集合 A 的下近似 (正域 )为 刘宝 , 赵凯 ; 集合 A 的负域为 李德 ; 集合 A 的边界域为 王治 , 马丽 ; 集合 A 的上近似为 刘宝 , 赵凯 , 王治 , 马丽 ; 从这个简单的例子 , 我们可以体会到粗糙集在实际生活的广泛应用 . 设 ( , )UR为近似空间 ,

21、()RX 和 ()RX 为下近似和上近似 . 则 ()RX 是 ( , )UR 中含在X 中的最大可定义集 , 而 ()RX 是 ( , )UR 中含在 X 中的最小可定义集 . 定义 2.6 X 是可定义的当且仅当 ( ) ( )R X R X ; X 是不可定义的当且仅当( ) ( )R X R X , 这时称 X 关于 ( , )UR 是粗糙的 . 我们称序对 ( ( ), ( )R X R X 为 Pawlak 粗糙集 . 下面介绍近似算子的性质 . 2.3 粗糙近似算子的基本性质 通过研究粗糙近似算子的性质可以更好地研究粗糙集 . 上面 主要通过定义近似空间 U 上的上下近似 , 产生了两个粗糙近似算子 R , R . 下面通过研究来得到上近似算子与下近似算子的基本性质 . 性质 2.110 设 A =( , )UR是一个 Pawlak 近似空间 , 对于任意的 ,XY U , 有下列的性质 : (L1) ( ) ( )R X R X ; (U1) ( ) ( )R X R X ; (L2) ()RU U ; (U2) ()R ; (L3) ( ) ( ) ( )R X Y R X R Y ; (U3) ( ) ( ) ( )R X Y R X R Y ;