马尔可夫链理论及其在经济领域的应用【毕业论文】.doc

1、 本科毕业论文 （ 20 届） 马尔可夫链理论及其在经济领域的应用 所在学院 专业班级 数学与应用数学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 II 摘要 马尔可夫链是一个离散的随机过程模型 , 它在研究经济和社会现象中的动态系统问题有极其广泛的应用 . 本文主 要研究马尔可夫链的基本理论及其在经济领域的应用 , 文章首先介绍了马尔可夫链的基本理论 , 研究了马尔可夫链传统的两种预测方法 , 比较马尔可夫链预测方法与其它定量统计预测方法的主要区别 , 建立了马尔可夫链理论在股市分析应用的数学模型 , 并利用此模型对股价的运动特征和涨落的时间周期进行定量分析 ; 其次对传统马尔可夫理论

2、进行改进 , 介绍了加权马尔可夫链的理论及其预测方法 , 利用加权马尔可夫链理论研究经济领域的具体实践问题 ; 最后为了进一步提高马尔可夫链预测方法的科学性、合理性和准确性 , 提出了值得进一步研究的几个 研究方向 . 关键词 : 马尔可夫链 ; 经济领域 ; 股市 ; 加权马尔可夫链 III Markov Chain Theory and its Applications in the Field of Economics Abstract Markov chain is a discrete stochastic process model which has very wide appl

3、ications in studying quantitatively analysis of a system transferring from one state to another, many dynamic systematic problems in the economic and social phenomenon. In this paper we first introduce the basic theory of Markov chain, two research classical prediction methods of Markov chain and co

4、mpare them with other quantitative analysis methods. Secondly, we use two kinds of the prediction methods of Markov theory to predict stock prices and its changes, and establish its stochastic process model. Through the practice, it has been proven that the model is practical and can be applied in t

5、he economic field, which can optimize the long-term benefit, and it improves the traditional Markov chain theory, in this paper we not only introduce the weighted Markov chain using and its prediction theory, but also study the economic practice field using this model. Finally, we put forward severa

6、l deserves further study research direction to further enhance the markov chain prediction method, which is scientific, reasonable and accuracy. Keywords: Markov chain; Economics; Stock market; Weighted Markov chain IV 目录 摘要 . I Abstract .III 1 前言 . 1 2 马尔可夫链的基本性质 . 3 2.1 马尔可夫链的基本概念 . 3 2.2 切普曼 -柯尔莫

7、哥洛夫方程 . 4 2.3 马尔可夫链的状态分类 . 5 2.4 极限定理 . 10 3 马尔可夫链预测方法研究 . 14 3.1 传统的马尔可夫链预测方法 . 14 3.2 马尔可夫链与其他定量统计预测方法的区别 . 15 4 传统马尔可夫链在经济领域的应用 . 17 4.1 马 尔可夫链在股市分析中的应用 . 17 5 对马尔可夫链理论及其在股市应用的进一步研 究 . 20 5.1 加权马尔可夫链在股市分析中的应用 . 20 6 总 结 . 25 参考文献 . 27 致谢 . 错误 !未定义书签。 1 1 前言 马尔可夫链最初是由俄国数学家 Markov 于 1906 年的研究而得名 ,

8、Kolmogorov, Feller 和Doob 等数学家们继续发展了这一理论 , 它是 随机过程的重要的组成部分 , 同时它在自然科学、工程技术、金融及经济等各领域中都有着广泛的应用 . 而本文主要介绍关于 马尔可夫链在经济领域中的应用 , 主要体现在 以下几个方面 (1) 马尔可夫链在宏观经济形式的变化、企业市场占有率及期望利润的变化过程 1都具有随机性和 ”无后效性 ”, 符合马尔可夫链的的应用要求 . 在对它们进行预测时 , 马尔可夫链预测方法不需要连续不断的历史数据 , 只需要近期的资料就可以采用马尔可夫链来描述 . 马尔可夫链是预测市场的占有率和期望利润的有力工具 . (2) 单支

9、股票的预期收益时间序列 、整个证劵市场的股指、证券组合的综合价格和预期收益时间序列 2都符合马氏性 . 把证券市场的市价和各种收益的变化的时间序列视为马尔可夫链 , 则可按转移概率 , 根据当前的状态预测以后的状态预测以后的状态 , 从而采取相应的策略 , 这就是运用马尔可夫链的方法进行股市分析的基本思想 . (3) 股票价格的回归 3, 利用马氏链可以对股票的价格进行分析和预测 . 将随机时间序列分解成趋势变动序列和马尔可夫链 , 建立了回归一马尔可夫组合预测模型 , 并对此模型编制成通用计算机程序 , 以此预测股票价格取到某个区间的概率分布 、平稳分布 , 股票价格的均值以及股票价格的平均

10、涨落时间 . (4) 对股市行情的预测 4. 将马尔可夫过程理论 , 应用于股票交易市场 , 对股价综合指数的涨 (跌 )幅度 , 进行状态分类 , 建立起对市场运行周期、稳态概率、稳定程度、投资利润等的分析预测模型 , 并利用这一模型对上海证券交易所股价综合的部分历史数据作了相应的分析 , 得到了较为理想的结果 . (5) 市场占有率及期望利润的马尔可夫链预测 5. 运用马尔可夫链理论对商品销售的市场占有率预测和期望利润预测进行了研究 , 实例表明 : 马尔可夫链是预测市场占 有率和期望利润的有力工具 . 马尔可夫随机过程在经济领域应用广泛 , 尤其在金融方面 , 本文由此重点介绍其在股市分

11、析中应用 . 股民一直希望从研究股票市场价格的变化中找出一些规律 , 使自己损失最小 , 收益最大 . 但是股票市场是一个复杂的非线性动力系统 , 受到很多随机因素的交互影响 , 从而使股票的价格涨落也呈现出不确定性 , 对于股票未来价格的精确预测非常困难 , 也可以说是不可能的 , 2 但对于短期某种程度的预测则相对较为简单 , 而且对投资者的投资行为具有重要的指导意义 . 常规的经济预测方法在用于股价的预测过程中存在着 种种缺陷 . 本文引入马尔可夫预测法 , 运用状态划分方法预测股价未来所处的状态 , 从另一个角度来简化预测工作量 , 探索新的预测成果 . 通过在实际股价预测中的应用 ,

12、 验证了这种方法的优势 , 取得了比较满意的实证结果 . 本文主要介绍关于马尔可夫链的理论及其在经济领域的应用 , 文章首先介绍了马尔可夫链的基本理论 , 研究了马尔可夫链传统的预测方法 , 比较马尔可夫链预测方法与其它定量统计预测方法的区别 ; 接着建立了马尔可夫链理论在股市分析应用的数学模型 , 并以此来对股价的运动特征和涨落的时间周期进行定量分析 ; 其次对 传统马尔可夫理论进行改进 , 介绍了加权马尔可夫链的理论及其预测方法 , 而且付于经济领域的具体实践中 . 最后 为了进一步提高马尔可夫链预测方法的科学性 , 合理性和准确性 , 提出了值得进一步研究的几个方面内容 . 3 2 马尔

13、可夫链的基本性质 马尔可夫链是一种特殊的随机过程 , 最初由俄国数学家 Markov 于 1906 年的研究而得名 ,之后 Kolmogorov， Feller 和 Doob 等数学家继续发展了这一理论 . 它的直观背景如下 : 设有一随机运动的系统(例如运动着的质点等 ), 它可能处的状态为 , 10 nEEE, 总共有可数个或者有穷个 . 这系统只可能在时刻 ,21 nt上改变它的状态 . 随着的运动进程 , 定义一列随机变量.,2,1,0, nXn其中kXn, 即在时刻t时， 位于kE. 实际中常常碰到具有这样性质的运动系统. 如果已知它在n时的状态 , 则关于它在n时以前所处的状态的补

14、充知识 , 对预言 在 时以后所处的状态不起任何作用 . 或者说在已知的 “现在 ”的条件下 , “将来 ”与 “过去 ”是无关的 . 这种性质 , 就是直观意义上的 “马尔可夫性 ”或者称为 “无后效性 ”. 2.1 马尔可夫 链的基本概念 假设马尔可夫过程, TnXn 的 参数集T是离散的时间集合 , 即,2,1,0 T, 其相应nX可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态空间2,1E. 定义 2.1 设有随机过程, Tnn, 若对任意的整数T和任意的Eiii n110, 条件概率满足 |,| 11110011 nnnnnnnn iXiXPiXiXiXiXP , (2.1) 则称, TXn

15、为马尔可夫链 , 简称为马氏链 . 定义 2. 2 条件概率 | 1)( iXjXPp nnnij , 称为马尔可夫链, TnXn 在时刻 的一步转移概率 , 基中Eji，简称为转移概率 . 一般地 , 转移概率)(nijp不仅与ji,有关 , 而且与时刻 有关 . 当)(nijp不依赖于时刻 时 ,表示马尔可夫链具有平衡转移概率 . 若对任意的Iji, 马尔可夫链, TnXn 的转移概率)(nijp与 无关 , 则称马尔可夫链是齐次的 . 应用上主要研究齐次马尔可夫链 , 本文只研究齐次马尔可夫链 . 4 定义 2.3 设P表示一步转移概率ijp所组成的矩阵 , 且状态空间,2,1E, 则

16、nnppppppP 2222111211,称为马尔可夫链的一步转移概率矩阵 . 它具有 以下 性质 (1) Ejipij ,0; (2) EipEj ij ,1. 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质 , 我们给出n步转移概率 , 初始分布和绝对分布的概念 . 定义 2.4 齐次马氏链, TnXn , 条件概率| iXjXP mmn 称为马尔可夫链 , TXn 在时刻m的 n 步转移概率 , 对于齐次马尔可夫链 , 它与m无关，记为)(nijp, 矩阵为)(P. 定义 2.5 齐次马氏链, TnXn , 称 0 iXPpi (E) 即0X的概率分布 , 为齐次马氏链的初始分布 . 其中Eipi ,

17、10, 且1Ei ip, 记 ),(0 EiP i . 定义 2.6 齐次马氏链, TnXn , 称 )( iXPp ni ), 即nX的概率分布 , 为齐次马氏链的绝对分布 . 其中Eipni ,10 )(, 且1)( Ei nip, 记),( )( EipP nin . 2.2 切普曼 -柯尔莫哥洛夫方程 在上一节中 , 定义了 马尔可夫 链和一步 , n 步转移概率 . 下面定理表明 )(nP 可以通过过程的一步转移矩阵求出 . 定理 2.1 切普曼 -柯尔莫哥洛夫方程 , C-K 方程 ) 对任何整数 0, nm , 有 )()()( nkjEk miknmij ppp , 5 或 )

18、()()( nmnm PPP . 证明 ()( ) ( ) | , | | | , | | .mnij r m n rr m n r m rkEr m r r m n r m rkEr m r r m n r mkEmnik k jkEp P X j X iP X j X k X iP X k X i P X j X k X iP X k X i P X j X kpp 推论 (1) nn PP )( ; (2) nn PPP 0 ; 证明 (1)式显然 . (2)式证明如下 : )(00)( | nijEi iEi nnnj ppiXjXPiXPjXPp .(2)式说明绝对分布由初始分布和转

19、移概率确定 . 定理 2.2 齐次马氏链的有限维分布由初始分布和转移概率确定 , 且满足 )()()(21 1112211121 , kk kkknn iinniiniiEi iknnn ppppiXiXiXP . (2.2) 证明 12121 2 11 2 11111 1 2 1120 1 20 1 0 2 1 00 1 2 1()( ) ( ) , , , , , , , | | , | , , , , kkkkkkkkn n n kn n n kiEn n niEn k n n n knnn n ni ii i i i iiEP X i X i X iP X i X i X i X iP

20、 X i P X i X i P X i X i X iP X i X i X i X i X ip p p p .因此 , 只要知道知道初始概率和一步转移概率 , 就可以知道马尔可夫链的统计特性 . 2.3 马尔可夫 链的状态分类 本节将讨论齐次马氏链 , TnXn 的状态分类问题 , 这有助于我们了解 马尔可夫 链的性质 , 有助于研究 n 步转移概率 )(nijp 的渐近性 . 6 定义 2.7 对于 Eji , ，若存在自然数 n , 使 0)( nijp , 则称自状态 i 出发可达状态 j ,记为 ji . 如果 ji , 且 ij ，则称 ji, 相通 , 记为 ji . 命题

21、2.1 状态互通关系 “ ji 是一等价关系 , 即互通关系满足 : (1) 自反性 ii ; (2) 对称性 若 ji , 则 ij ; (3) 传递性 若 ji , 且 kj , 则 ki . 证明 (1), (2)式显然 ; 下面证 (3)式 . 因为 ji , kj , 所以存在 1,1 ml , 使 0,0 )()( mjklij pp . 由 C-K 方程 0)()()()()( mjklijmskEs lismlik ppppp , 这里 1ml , 所以 ki 成立 . 同理可证 ik 成立 . 定义 2.86 如果集合 0,1: )( niipnn , 称该数集的最大公约数

22、)(id 为 i 的周期 . 如果 1)( id , 称状态 i 为周期的 . 如果 1)( id , 称状态 i 为非周期的 . 命题 2.27 如果 Markov 链状态 i 的周期为 d , 则存在正整数 M , 对一切 Mn , 有0)( ndiip . 证明 设 ,0,1: 21)( nnpnn nii , 令 , 21 kk nnd 集合 的最大公约数 ,则 121 dddd k , 故存在正整数 N , 使得 ddd NN 1 , 因此 , 21 Nnnnd 集合 的最大公约数 . 从而存在正整数 M , 对一切 Mn , 由初等数论有 kNk knnd 1( k 为正整数 ). 由于 ),2,1(0)( Nkp knii , 因而当 Mn 时 0)(1)()()()()( 22111 kkNNkNk k aNkniiniiniiniiniindii pppppp . 定义 2.9 从状态 i 出发经过 n 步首次到达状态 j 的时刻 ,1:m in 0 iXjXnnT nij ,