高考数学试题四川卷（文）.doc

1、 2009 年高考数学试题四川卷（文） 全解全析 一、选择题（ 5 12 60 分） 1、设集合 S x 5x ， T x 0)3)(7( xx .则 TS A. x 7 x 5 B. x 3 x 5 C. x 5 x 3 D. x 7 x 5 【答案】 C 【解析】 S x 55 x ， T x 37 x TS x 5 x 3 2、函数 )(2 1 Rxy x 的反函数是 A. )0(log1 2 xxy B. )1)(1(log 2 xxy C. )0(log1 2 xxy D. )1)(1(log 2 xxy 【答案】 C 【解析】 由 yxyxy x 221 lo g1lo g12 ，

2、又因原函数的值域是 0y ， 其反函数是 )0(log1 2 xxy 3、等差数列 na 的公差不为零，首项 1a 1， 2a 是 1a 和 5a 的等比中项，则数列的前 10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】 B 【解析】 设公差为 d ，则 )41(1)1( 2 dd . d 0，解得 d 2， 10S 100 4、已知函数 )(2s in ()( Rxxxf ，下面结论 错误 的是 A. 函数 )(xf 的最小正周期为 2 B. 函数 )(xf 在区间 0， 2 上是增 函数 C.函数 )(xf 的图象关于直线 x 0 对称 D. 函数 )(xf 是

3、奇函数 【答案】 D 【解析】 xxxf c o s)2s in ()( ， A、 B、 C 均正确，故错误的是 D 【易错提醒】 利用 诱导公式时，出现符号错误。 5、设矩形的长为 a ，宽为 b ，其比满足 b a 618.02 15 ，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次： 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次： 0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是 A

4、. 甲批次的总体平均 数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 【答案】 A 【解析】 甲 批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613 【备考提示】 用 以上各数据与 0.618（或 0.6）的差进行计算，以减少 计算量，说明多思则少算。 6、如图，已知六棱锥 ABCDEFP 的底面是正六边形， ABPAA B CPA 2, 平面 则下列结论正确的 是 A. ADPB B. PAB平面 PBC平面 C. 直线 BC PAE平面 D. 直线 ABCPD与平面 所成的角为

5、45 【答案】 D 【解析】 AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直，所以 A 不成立，又，平面 PAB平面 PAE，所以 PAB平面 PBC平面 也不成立； BC AD平面 PAD, 直线 BC PAE平面 也不成立。在 PADRt 中， PA AD 2AB， PDA 45 . D 正确 7、已知 a ， b ， c ， d 为实数，且 c d .则“ a b ”是“ a c b d ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 显然， 充分性不成立 .又，若 a c b d 和 c d 都成立，则同向不等式相加

6、得a b 即由“ a c b d ” “ a b ” 8、已知双曲线 )0(12222 bbyx 的左、右焦点分别是 1F 、 2F ，其一条渐近线方程为 xy ，点 ),3( 0yP 在双曲线上 .则 1PF 2PF A. 12 B. 2 C. 0 D. 4 【答案】 C 【解析】 由 渐近线方程为 xy 知双曲线是等轴双曲线， 双曲线方程是 222 yx ，于是两焦点坐标分别是（ 2， 0）和 （ 2， 0），且 )1,3(P 或 )1,3( P .不妨去 )1,3(P ，则)1,32(1 PF ， )1,32(2 PF . 1PF 2PF 01)32)(32()1,32)(1,32( 9

7、、如图，在半径为 3 的球面上有 CBA 、 三点， ABC =90， BCBA , 球心 O 到平面 ABC 的距离是 223 ，则 CB、 两点的球面距离是 A. 3B. C. 34D.2 【答案】 B 【解析】 AC 是小圆的直径。所以过球心 O 作小圆的垂线，垂足 O 是 AC 的中点。 O C 2 23)2 23(3 22 ， AC 3 2 ， BC 3，即 BC OB OC。3BOC ，则 CB、 两点的球面距离 33 10、某企业生 产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨， B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨， B 原料 3 吨，销售每吨甲

8、产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨， B 原料不超过18 吨 .那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 【答案】 D 【解析】 设 生产甲产品 x 吨，生产乙产品 y 吨，则有关系： A 原料 B 原料 甲产品 x 吨 3x 2x 乙产品 y 吨 y 3y 则有：183213300yxyxyx目标函数 yxz 35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： （ 3， 4） （ 0， 6） O （313 ， 0） y x 9 13 当 x 3， y

9、5 时可获得最大利润为 27 万元，故选 D 11、 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】 B 【解析】解法一、 从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（ A 共有 62223 AC 种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、 B 之间（若甲在 A、 B 两端。则为使 A、 B 不相邻，只有把男生乙排在 A、 B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 6 2 12 种排法（ A 左 B 右和

10、 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 12 4 48 种不同排法。 解法二； 同解法一，从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A，（ A 共有 62223 AC种不同排法），剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生 A、 B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 22226 AA =24 种排法； 第二类：“捆绑” A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共有 226A 12 种排法 第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑” A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 226A

11、 12 种排法 三类之和为 24 12 12 48 种。 12、已知函数 )(xf 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 )()1()1( xfxxxf ，则 )25(f 的值是 A. 0 B. 21 C. 1 D. 25 【答案】 A 【解析】 若 x 0，则有 )(1)1( xfx xxf ，取 21x ，则有： )21()21()21(21211)121()21( fffff （ )(xf 是偶函数，则)21()21( ff ） 由此得 0)21( f 于是，0)21(5)21(21 21135)121(35)23(35)23(23 231)123()25(

12、fffffff 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（ 文史类 ） 第 卷 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔 在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分把答案填在题中横线上 13.抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 . 【答案】 2 【解析】 焦点 F （ 1， 0），准线方程 1x ， 焦点到准线的距离是 2 14. 61(2 )2x x 的展开式的常数项是 （用数字作答） w.w.w.k.s.5.u.c.o. m 【答案】 20 【解析】 rrrrrrrrr xCxxCT 26266661

13、 2)1()21()2()1( ， 令 026 r ，得 3r 故展开式的常数项为 20)1( 363 C 15.如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各条棱长都相等， M 是侧棱 1CC 的中点，则异面直线 1AB BM和 所成的角的大小是 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 90 【解析】 作 BC 的 中点 N，连接 AN，则 AN 平面 BCC1B1， 连接 B1N，则 B1N 是 AB1 在平面 BCC1B1 的射影， B1N BM， AB1 BM.即 异面直线 1AB BM和 所成 的角的大小是 90 16设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对

14、于映射 :,f V V a V，记 a 的象为 ()fa。若映射 :f V V 满 足 ： 对 所 有 a b V、 及 任 意 实 数 , 都有( ) ( ) ( )f a b f a f b ，则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题： 设 f 是平面 M 上的线性变换， a b V、 ，则 ( ) ( ) ( )f a b f a f b 若 e 是平面 M 上的单位向量，对 , ( )a V f a a e 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换； 对 , ( )a V f a a 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换； 设 f 是平面 M 上的线性变换， aV ，则对任意实

15、数 k 均有 ( ) ( )f ka kf a 。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】 【解析】 ：令 1 ，则 )()()( bfafbaf 故 是真命题 同理， ：令 0, k ，则 )()( akfkaf 故 是真命题 ： aaf )( ，则有 bbf )( )()()()()()( bfafbababaf 是 线性变换 ，故是真命题 ：由 eaaf )( ，则有 ebbf )( ebfafeebeaebabaf )()()()()()( e 是 单位向量 ， e 0，故 是假命题 【备考提示】 本小题 主要考 查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出

16、创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 12 分） 在 ABC 中， AB、 为 锐 角 ， 角 A B C、 、 所 对 的 边 分 别 为 a b c、 、 ，且5 10sin , sin5 10AB （ I）求 AB 的值； （ II）若 21ab ，求 a b c、 、 的值。 【解析】 （ I） AB、 为锐角， 5 10sin , sin5 10AB 222 5 3 1 0c o s 1 sin , c o s 1 sin5 1 0A A B B 2 5 3 1 0 5 1 0

17、 2c o s ( ) c o s c o s s in s in .5 1 0 5 1 0 2A B A B A B 0 AB 4AB 6 分 （ II）由（ I）知 34C ， 2sin2C由 sin sin sina b cA B C得 5 10 2a b c，即 2 , 5a b c b 又 21ab 2 2 1bb 1b 2, 5ac 12 分 18. （本小题满分 12 分） 为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到

18、四川名胜旅游，其中 34 是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有 13 持金卡，在省内游客中有 23 持银卡 。 w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m （ I）在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； （ II）在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率 . 【解析】 I）由题意得 ,省外游客有 27 人 ,其中 9 人持金卡 ;省内游客有 9 人 ,其中 6 人持银卡 . 设事件 A 为 “ 采访该团 2 人 ,恰有 1 人持银卡” ,则 116 30236 2() 7CCPA C所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡的概率是

19、 27 . 6 分 （ II）设事件 B 为 “ 采访该团 2 人 ,持 金卡人数与持 银卡 人数相等 ” ,可以分为： 事件 B1为 “ 采访该团 2 人 ,持 金卡 0 人，持 银卡 0 人 ” ,或 事件 B2为 “ 采访该团 2 人 ,持金卡 1 人，持 银卡 1 人 ” 两种情况，则 112 962112 223 6 3 6 44( ) ( ) ( ) 105 CCCP B P B P B CC所以采访该团 2 人， 持金卡与 持银卡人数相等的概率 是 44105 . 12 分 19（本小题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，

20、ABE 是等腰直角三角形， , , 4 5A B A E F A F E A E F （ I）求证： EF BCE平 面 ； （ II）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ，求证： PM BCE平 面 （ III）求二面角 F BD A的大小。 【解析】 解法一： 因为平面 ABEF平面 ABCD， BC 平面 ABCD， BC AB，平面 ABEF平面 ABCD=AB， 所以 BC平面 ABEF. 所以 BC EF. 因为 ABE 为等腰直角三角形， AB=AE， 所以 AEB=45， 又因为 AEF=45, 所以 FEB=90，即 EF BE. 因为 BC 平面 ABCD,

21、BE 平面 BCE, BC BE=B 所以 EF BCE平 面 6 分 （ II） 取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN 12AB PC PMNC 为平行四边形 ,所以 PM CN. CN 在平面 BCE 内 ,PM 不在平面 BCE 内 , PM平 面 BCE. 8 分 （ III） 由 EA AB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD. 作 FG AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG EA.从而 FG平面 ABCD, 作 GH BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD FH. FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角 . FA=FE, AEF=45

22、 , AEF=90 , FAG=45 . 设 AB=1,则 AE=1,AF= 22 ,则 1F G A F s i n F A G 2 在 Rt BGH 中 , GBH=45 ,BG=AB+AG=1+12 =32 , 3 2 3 2G H B G s i n G B H 2 2 4 , w. w. w. k.s. 5. u. c. o. m 在 Rt FGH 中 , FG 2tan FHG GH 3, 二面角 F BD A的大小 为 2arctan 3 12 分 w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m 解法二 : 因 ABE 等腰直角三角形， AEAB ，所以 ABAE 又因

23、为平面 ABA B CDA B E F 平面 ，所以 AE 平面 ABCD ，所以 ADAE 即 AEABAD 、 两两垂直；如图建立空间直角坐标系 , (I) 设 1AB ，则 1AE ， )0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0( CEDB 45, A E FFEFA ， 090AFE ， 从而 ），（ 21210F w. w. w. k.s.5.u.c.o.m )21,21,0( EF ， )0,0,1(),1,1,0( BCBE 于是 021210 BEEF ， 0BCEF EF BE ,EF BC BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ， BBEBC EF

24、BCE平 面 （ II） )0,21,1(),21,0,0( PM ，从而 )21,21,1( PM 于是 041410)21,21,0()21,21,1( EFPM PM EF ，又 EF 平面 BCE ，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PM 平面 BCE （ III）设平面 BDF 的一个法向量为 1n ，并设 1n （ ), zyx )21,23,0(),0,1,1( BFBD 0011BFnBDn 即021230zyyx 取 1y ，则 1x ， 3z ，从而 1n （ 1， 1， 3） 取平面 ABD D 的一个法向量为 )1,0,0(2 n 11 1131113cos 21

25、 2121 nn nnnn 、w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 故 二面角 F BD A的大小 为 11113arccos 20（本小题满分 12 分） 已知函数 32( ) 2 2f x x b x c x 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 5 10yx。 （ I）求函数 ()fx的解析式； （ II）设函数 1( ) ( ) 3g x f x m x，若 ()gx 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数()gx 取 得极值时对应的自变量 x 的值 . 【解析】 （ I） 由已知 ,切点为 (2,0),故有 (2) 0f ,即 4 3 0bc 又 2( ) 3 4f x

26、x b x c ，由已知 (2 ) 1 2 8 5f b c 得 8 7 0bc 联立，解得 1, 1bc . 所以函数的解析式为 32( ) 2 2f x x x x 4 分 （ II） 因为 32 1( ) 2 2 3g x x x x m x 令 2 1( ) 3 4 1 03g x x x m 当函数有极值时，则 0 ，方程 2 13 4 1 03x x m 有实数解， w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m 由 4(1 ) 0m ，得 1m . 当 1m 时， ( ) 0gx 有实数 23x ，在 23x 左右两侧均有 ( ) 0gx ，故函数 ()gx 无极值 当

27、 1m 时， ( ) 0gx 有两个实数根1211( 2 1 ) , ( 2 1 ) ,33x m x m ( ), ( )g x g x情况如下表： x 1( , )x 1x 12( , )xx 2x 2()x ()gx + 0 - 0 + ()gx 极大值 极小值 所以在 ( ,1)m 时，函数 ()gx 有极值； 当 1 (2 1 )3 xm时， ()gx 有极大值；当 1 (2 1 )3 xm时， ()gx 有极小值； 12 分 21. （本小题满分 12 分） w. w. w. k. s. 5. u. c.o.m 已知椭圆 222 1( 0 )xy abab 的左、右焦点分别为 12FF、 ，离心率 22e ，右准线方程为 2x 。 （ I）求椭圆的标准方程；