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1、单元质量检测 (11) 一、选择题 1不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有 ( ) A 12 种 B 20 种 C 24 种 D 48 种 解析： 甲、乙捆绑后与第 5 种商品排列有 A22种，产生的三个空排丙、丁，有 A23种，再排甲、乙有 A22种，共有 A22A23A22 24 种 答案： C 2直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x n(n 0,1,2， ， 5)与平行直线 y n(n 0,1,2， ，5)组成的图形中，矩形共有 ( ) A 25 个 B 36 个 C 100 个 D 225 个 解析： 从构成矩形的四条边入手

2、，可以从 6 条竖着的直线中任取两条，共有 C26种选法；再从 6 条横着的直线中任取两条直线，共有 C26种选法，所以可构成矩形 C26C26 225(个 ) 答案： D 3 (1 3 x)6 114 x10的展开式中的常数项为 ( ) A 1 B 46 C 4245 D 4246 解析： (1 3 x)6的通项公式为 Cr6x r3， 114 x10的通项公式为 Ck10xk4，由r3 (k4) 0，得 r 0k 0 ， r 3k 4 ， r 6k 8 共三项，所以常数项为 C06C010 C36C410 C66C810 4246. 答案： D 4在一底面半径和高都是 2 cm 的圆柱形容

3、器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中现从中随机取出 2 cm3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是 ( ) A.14 B. 18 C. 14 D 1 14 解析： 可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为 P 2 2 22 14. 答案： C 5在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P，则 PBC 的面积大于 S4的概率是 ( ) A.14 B. 12 C.34 D.23 解析： 如右图，在 AB 边取点 P ，使 APAB 34，则 P 只能在 AP内运动，则概率为 APAB 34. 答案： C 6口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸

4、取一个球，定义数列an： an 1 第 n次摸取红球1 第 n次摸取白球 ，如果 Sn为数列 an的前 n 项和，那么 S7 3 的概率为 ( ) A C57(13)2(23)5 B C27(23)2(13)5 C C57(13)2(13)5 D C37(13)2(23)5 解析： 由题意得，在 7 次摸球中，摸得红球的次数恰为 2 次，则有 S7 3. 又因为每次摸球，摸得红球的概率为 23， 设 X 为摸得红球的次数，则 X B(7， 23)， 在 7 次摸球中，恰有 2 次摸得红球的概率 P(X 2) C27(23)2(13)5. 答案： B 7集合 A (x， y)|y |x 1|，

5、x N*，集合 B (x， y)|y x 5， x N* 先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作 a，掷第二颗骰子得点数记作 b，则 (a， b) A B 的概率等于 ( ) A.14 B. 29 C. 736 D. 536 解析： 由于 y |x 1| x y 1 0x y 1 0 ，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知 A B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点 其中整数点有 (0,1)， (0,2)， (0,3)， (0,4)， (0,5)， (1,0)， (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)，(2,2)， (2,3)， (3,2)，共 14 个 现

6、先后抛掷 2 颗骰子，所得点数分别有 6 种，共会出现 36 种结果，其中落入阴影区域内的有 8 种，即 (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (3,2) 所以满足 (a， b) A B 的概率为 836 29，故选 B. 答案： B 8设随机变量的概率分布为： X 0 1 2 P p3 p3 1 23p 则 X 的数学期望的最小值是 ( ) A.12 B 0 C 2 D随 p 的变化而变化 解析： EX 0 p3 1 p3 2 (1 2p3 ) 2 p， 又 p3 0,1 23p 0， 0 p 32， 当 p 32时， EX 的值最

7、小，最小值为 2 32 12. 答案： A 9 (2009深圳一调 )利用计算机在区间 (0,1)上产生两个随机数 a 和 b，则方程 x 2a bx有实根的概率为 ( ) A.12 B. 13 C.16 D.23 解析： 方程 x 2a bx，即 x2 2ax b 0，若方程有实根，则有 4a2 4b 0 即 b a2，其所求概率可转化为几何概型，如右图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比， S 阴影 01a2da 13a3| 1013，所以所求概率 P 13. 答案： B 10 (2009广州一测 )在区间 0,1上任意 两个实数 a， b，则函数 f(x) 12x3 ax b 在区间 1

8、,1上有且仅有一个零点的概率为 ( ) A.18 B. 14 C.34 D.78 解析： f (x) 32x2 a，故 f(x)在 x 1,1上单调递增，又因为函数 f(x) 12x3 ax b在 1,1上有且仅有一个零点，即有 f( 1)f(1)0，可化为： 0 a 10 b 112 a b012 a b0或 0 a 10 b 112 a b012 12 k 2 54k0，即 k 1或 k1 的条件下，函数 f(x) x2 2ax b 有两相异零点的概率为 P，用计算机产生了 0,1)内的两组随机数 a1， b1各 2400 个，并组成了 2400 个有序数对 (a1， b1)，统计这 24

9、00 个有序数对后得到 2 2 列联表的部分数据如下表： 满足 b112的数对个数 550 合计 2400 则根据表中数据计算出的概率 P 的估计值为 ( ) A.1348 B. 1124 C.1324 D. 712 解析： 本题先对产生的随机数对 (a1， b1)进行 a 2a1， b 4b1 的变换后可转化为满足题中条件的数对 (a， b)，而当 4a2 4b0 时，原函数 f(x)有两个相异零点所以先将表格补全，知当 a1 即 a112时，满足 a21 b10 时，有两个相异零点，于是 P 6501200 1324. 答案： C 二、填空题 13已知 (1 kx2)6(k 是正整数 )的

10、展开式中 x8的系数小于 120，则 k _. 解析： (1 kx2)6按二项式定理展开的通项为 Tr 1 Cr6(kx2)r Cr6krx2r. 令 2r 8，得 r 4， x8的系数为 C46k4， 即 15k40)若 在 (0,1)内取值的概率为 0.4，则 在 (2， )上取值的概率为 _ 解析： 由正态分布的特征易得 P(2) 121 2P(00y0内的随机点，求函数 y f(x)在区间 1， )上是增函数的概率 解： (1) 函数 f(x) ax2 4bx 1 的图象的对称轴为 x 2ba ，要使函数 f(x) ax2 4bx 1在区间 1， )上为增函数，当且仅当 a0 且 2b

11、a 1，即 2b a. 若 a 1，则 b 2， 1； 若 a 2，则 b 2， 1,1； 若 a 3，则 b 2， 1,1； 若 a 4，则 b 2， 1,1,2； 若 a 5，则 b 2， 1,1,2； 所求事件包含基本事件的个数是 2 3 3 4 4 16. 所求事件的概率为 1636 49. (2)由 (1)知当且仅当 2b a且 a0 时，函数 f(x) ax2 4bx 1 在区间 1， )上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 a， b|a b 8 0a0b0，构成所求事件的区域为如右图阴影部分 由 a b 8 0b a2 得交点坐标为 (163 ，83)， 所 求事件

12、的概率为 P12 88312 8 8 13. 21 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为 0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12，至少选修一门课的概率是 0.88，用 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积 (1)记 “ 函数 f(x) x2 x 在 R 上的偶函数 ” 为事件 A，求事件 A 的概率； (2)求 的分布列和数学期望 解： 设该学生选修甲、乙、丙的概率 分别为 x、 y、 z. 依题意得 x1 y1 z 0.08xy1 z 0.12.1 1 x1 y1 z 0.88， 解得 x 0.4y 0.6z

13、 0.5. (1)若函数 f(x) x2 x 为 R 上的偶函数，则 0. 当 0 时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 P(A) P( 0) xyz (1 x)(1 y)(1 z) 0.4 0.5 0.6 (1 0.4)(1 0.5)(1 0.6) 0.24. 事件 A 的概率为 0.24. (2)依题意知 的取值为 0 和 2，由 (1)所求可知 P( 0) 0.24， P( 2) 1 P( 0) 0.76. 则 的分布列为 0 2 P 0.24 0.76 的数学期望为 E 0 0.24 2 0.76 1.52. 22 (2009山东高考 )在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定

14、每人最多投 3 次：在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投 第三次某同学在 A 处的命中率 q1为 0 25，在 B 处的命中率 q2，该同学选择先在 A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 P 0.03 p1 p2 p3 p4 (1)求 q2的值； (2)求随机变量 的数学期望 E； (3)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小 解： (1)由题设可知， “ 0” 对应的事件为 “ 在三次投篮中没有

15、一次投中 ” ，由对立事件和相互独立事件性质可知 p( 0) (1 q1)(1 q2)2 0.03，解得 q2 0.8 (2)根据题意 p1 P( 2) (1 q1)C12(1 q2)q2 0.75 2 0.2 0.8 0.24， p2 P( 3) q1(1 q2)2 0.25 (1 0.8)2 0.01， p3 P( 4) (1 q1)q22 0.75 0.82 0.48， p4 P(5) q1q2 q1(1 q2) 0 25 0.8 0.25 0.2 0.8 0.24， 因此 E 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63. (3)用 C 表示事件 “ 该同学选择第一次在 A 处投，以后都在 B 处投，得分超过 3 分 ” ，用 D 表示事件 “ 该同学选择都在 B 处投，得分超过 3 分 ” ，则 P(C) P( 4) P( 5) p3 p4 0.48 0.24 0.72， P(D) q22 C12q2(1 q2)q2 0.822 0.8 0.2 0.8 0.896.故 P(D)P(C) 即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处以后都在 B 处投得分超过 3 分的概率