1、专题四 直线与圆锥曲线 一、选择题 (每小题 7 分 ， 共 35 分 ) 1 AB 为过椭圆 x2a2y2b2 1 中心的弦 ， F(c,0)为它的焦点 ， 则 FAB 的最大面积为 ( ) A b2 B ab C ac D bc 2 过点 (0,1)作直线 ， 使它与抛物线 y2 4x 仅有一个公共点 ， 这样的直线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 3 过抛物线 y2 2px (p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一 、 四象限分别交于 A、 B 两点 ， 则 |AF|BF|的值等于 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 4 已知椭圆 C
2、的方程为 x216y2m2 1 (m0)， 如果直线 y22 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F， 则 m 的值为 ( ) A 2 B 2 2 C 8 D 2 3 5 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左焦点为 F1， 左 、 右顶点为 A1、 A2， P 为双 曲线上任意一点 ， 则分别以线段 PF1， A1A2 为直径的两个圆的位置关系为 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 以上情况都有可能 二、填空题 (每小题 6 分 ， 共 24 分 ) 6 直线 y kx 1 与椭圆 x25y2m 1 恒有公共点 ， 则 m 的取值范围是 _ 7
3、 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax(a 0)的焦点 F， 且和 y 轴交于点 A，若 OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4， 则抛物线方程为 _ 8 (2010湖北重点中学联考 )如图所示 ， 过抛物线 y2 2px (p0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于 A， B， C 三点 ， 若 |BC| 2|BF|， 且 |AF| 3，则抛物线的方程是 _ 9 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， A1、 A2、 B1、 B2 为椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的四个顶点 ， F 为其右焦点 ， 直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T， 线段OT 与椭圆
4、的交点 M 恰为线段 OT 的中点 ， 则该椭圆的离心率为_ 三、解答题 (共 41 分 ) 10 (13 分 )设 AB 是过椭圆 x25y24 1 的一个焦点的弦 ， 若 AB 的倾斜角为 60， 求弦 AB 的长 11 (14 分 )已知直线 y kx 1 与双曲线 x2 y2 1 的左支交于 A、 B 两点 ， 若另有一条直线l 经过 P( 2,0)及线段 AB 的中点 Q. (1)求 k 的取值范围 ； (2)求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围 12 (14 分 )(2010温州十校模拟 )已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点 ， 焦点在 x 轴上 ， 且经过点 A(0,
5、2 3)， 离心率为 12. (1)求椭圆 P 的方程 ； (2)是否存在过点 E（ 0， -4） 的直线 l 交椭圆 P 于点 R， T，且满足 OTOR 167 .若存在 ， 求直线 l 的方程 ； 若不存在 ， 请说明理由 答案 1. D 2. C 3. C4. B 5. B 6. m 1 且 m 5 7. y2 8 x 8. y2 3x 9.2 7 5 10 解 依题意，椭圆的一个焦点 F 为 (1,0)，则直线 AB的方程为 y 3(x 1)， 代入 4x2 5y2 20，得 19x2 30x 5 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 3019， x1
6、x2 519. |AB| 1 k2x1 x22 4x1x2 1 3 3019 2 4 519 32 519 . 弦 AB 的长为 32 519 . 11. 解 (1)将 y kx 1 代入双曲线方程 x2 y2 1， 化简，整理，得 (1 k2)x2 2kx 2 0. 由题设条件 4k2 81 k20， 2k1 k20 22 2. 12. 解 (1)设椭圆 P 的方程为 x2a2y2b2 1 (ab0)， 由题意得 b 2 3， e ca 12， a 2c， b2 a2 c2 3c2， c2 4， c 2， a 4， 椭圆 P 的方程为 x216y212 1. (2)假设存在满足题意的直线 l. 易知当直线 l的斜率不存在时， OROT 0 得 ， ( 32k)2 4(3 4k2) 160， 解得 k214. x1 x2 32k3 4k2， x1x2 163 4k2， y1y2 (kx1 4)(kx2 4) k2x1x2 4k(x1 x2) 16， 故 x1x2 y1y2 163 4k2 16k23 4k2128k23 4k2 16167 ， 解得 k2 1， 由 解得 k 1， 直线 l的方程为 y x 4. 故存在直线 l： x+y+4=0 或 x-y-4=0 满足题意 .
