专题复习之坐标系与参数方程.doc

1、专题复习之极 坐标系与参数方程 一、知识精讲 （一）、极坐标 知识点一、 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 ( 0 ):( 0 )xxyy 的作用下 ,点 P(x,y)对应到点 ( , )P x y ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ,简称伸缩变换 . 知识点二、 极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点 O ,叫做极点 ,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴 ;再选定一个长度单位 ,一个角度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 ),这样就建立了一个极坐标系 . 注 :极坐标系以角这一平面图

2、形为几何背景 ,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 . (2)极坐标 设 M是平面内一点 ,极点 O 与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 ,记为 ;以极轴 Ox 为始边 ,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角 ,记为 .有序数对 ( , ) 叫做点 M 的极坐标 ,记作 ( , )M . 一般地 ,不作特殊说明时 ,我们认为 0, 可取任意实数 . 特别地 ,当点 M 在极点时 ,它的极坐标为 (0, )( R).和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐

3、标有无数种表示 . 如果规定 0, 0 2 ,那么除极点外 ,平面内的点可用唯一的极坐标 ( , ) 表示 ;同时 ,极坐标( , ) 表示的点也是唯一确定的 . 知识点三、 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,如图所示 : (2)互化公式 :设 M 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 (, )xy ,极坐标是 ( , ) ( 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 : 点 M 直角坐标 (, )xy 极坐标 ( , ) 互化公式 cossinxy 2 2 2tan ( 0)xyy xx在

4、一般情况下 ,由 tan 确定角时 ,可根据点 M 所在的象限最小正角 . 知识点四、 常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点 ,半径为 r 的圆 (0 2 )r 圆心为 (,0)r ,半径为 r 的圆 2 c o s ( )22r 圆心为 (, )2r ,半径为 r 的圆 2 sin (0 )r 过极点 ,倾斜角为 的直线 (1) ( ) ( )RR 或 (2) ( 0 ) ( 0 ) 和 过点 (,0)a ,与极轴垂直的直线 c o s ( )22a 过点 ( , )2a,与极轴平行的直线 sin (0 )a 注 :由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即 ( , )

5、, ( , 2 ) , ( , ) , ( , ) , 都表示同一点的坐标 ,这与点的直角坐标的唯一性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 ,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 .例如对于极坐标方程 , 点 ( , )44M 可以表示为5( , 2 ) ( , 2 ) ,4 4 4 4 4 4 或 或 ( - )等多种形式 ,其中 ,只有 ( , )44 的极坐标满足方程 . （ 二 ） 、参数方程 知识点一、 参数方程的概念 一般地 ,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标 ,xy都是某个变数 t 的函数 ()()x f ty gt ,并且对于 t 的每一个允许值

6、,由方程组所确定的点 ( , )Mxy 都在这条曲线上 ,那么方程就叫做这条曲线的参数方程 ,联系变数 ,xy的变数 t 叫做参变数 ,简称参数 ,相对于参数方程而言 ,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 . 知识点二、 参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 ,一般地可以 通过消去参数而从参数方程得到普通方程 . (2)如果知道变数 ,xy中的一个与参数 t 的关系 ,例如 ()x f t ,把它代入普通方程 ,求出另一个变数与参数的关系 ()y gt ,那么 ()()x f ty gt 就是曲线的参数方程 ,在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使

7、 ,xy的取值范围保持一致 . 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 知识点三、 圆的参数 如图所示，设圆 O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 0M 出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动，设 ( , )Mxy ，则 c o s ()sinxryr 为 参 数。 这就是圆心在原点 O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 0OM 转过的角度。 圆心为 (, )ab ，半径为 r 的圆的普通方程是 2 2 2( ) ( )x a y b r ， 它的参

8、数方程为： c os ()si nx a ry b r 为 参 数。 知识点四、 椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为 22 1( 0 ),xy abab 其参数方程为c o s ()sinxayb 为 参 数，其中参数 称为离心角；焦点在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是22 1( 0 ),yx abab 其参数方程为 c o s ( ),sinxbya 为 参 数其中参数 仍为离心角，通常规定参数 的范围为 0， 2 ）。 注： 椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，

9、离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到 2 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 0 2 时，相应地也有 0 2 ，在其他象限内类似。 知识点五、 双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的双曲线的标准议程为 22 1( 0 , 0 ),xy abab 其参数方程为se c ()ta nxayb 为 参 数，其中 30 , 2 ) , .22 且 焦点在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 2222 1( 0 , 0 ),yx abab 其 参 数 方 程 为c o t ( ( 0 , 2 ) .c scxb eya 为 参 数 ， 其 中

10、 且 以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。 知识点六、 抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 2 2 ( 0)y px p的参数方程为 22 ( ).2x pt ty pt 为 参 数知识点七、 直线的参数方程 经过点 0 0 0( , )M x y ，倾斜角为 ()2 的直线 l 的普通方程是 00ta n ( ),y y x x 而过0 0 0( , )M x y ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 00cossinx x ty y t ()t为 参 数。 注： 直线参数方程中参数的几何意 义：过定点 0 0 0( , )M x y ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程

11、为00cossinx x ty y t ()t为 参 数，其中 t 表示直线 l 上以定点 0M 为起点，任一点 ( , )Mxy 为终点的有向线段0MM的数量，当点 M 在 0M 上方时， t 0；当 点 M 在 0M 下方时， t 0；当点 M 与 0M 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 0M 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 二、经典例题 1、 下列在曲线 sin 2 ()c o s sinxy 为 参 数上的点是（ ） A 1( , 2)2 B 31( , )42 C (2, 3) D (1, 3

12、) 2、将参数方程 222 s in ()s inxy 为 参 数化为普通方程为（ ） A 2yx B 2yx C 2(2 3)y x x D 2(0 1)y x y 3、极坐标方程 cos 2 sin 2 表示的曲线为（ ） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 4、 已知点 ( , )Pxy 是圆 222x y y上的动点， （ 1）求 2xy 的取值范围； （ 2）若 0x y a恒成立，求实数 a 的取值范围。 5、 参数方程c o s ( sin c o s ) ()sin ( sin c o s )xy 为 参 数表示什么曲线？ 6、 已知直线 l 经过点 (1,1)P ,倾斜角 6 ， （ 1）写出直线 l 的参数方程。 （ 2）设 l 与圆 422 yx 相交与两点 ,AB，求点 P 到 ,AB两点的距离之积 7、 求直线 11: ( )53xtltyt 为 参 数和直线 2 : 2 3 0l x y 的交点 P 的坐标，及点 P 与 (1, 5)Q 的距离。