中考数学常用公式定理.doc

1、 1 中考数学常用公式定理 整数 (包括：正整数、 0、负整数 )和分数 (包括：有限小数和无限环循小数 )都是有理数如： 3， ，0.231， 0.737373 ， ， 无限不环循小数叫做无理数 如： ， ， 0.1010010001 (两个 1之间依次多 1个 0)有理数和无理数统称为实数 绝对值 ： a 0 丨 a丨 a； a 0 丨 a丨 a如：丨 丨 ；丨 3.14 丨 3.14 一个近似数，从左边笫一个不是 0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做 这个 近似数的有效数字如： 0.05972精确到 0.001得 0.060，结果有两个有效数字 6， 0 把一个数写成 a 1

2、0n的形式 (其中 1 a 10， n是整数 )，这种记数法叫做科学记数法如： 40700 4.07 105， 0.000043 4.310 5 乘法公式 (反过来就是因式分解的公式 )： (a b)(a b) a2 b2 (a b)2 a2 2ab b2 (ab)(a2 ab b2) a3 b3 (a b)(a2 ab b2) a3 b3； a2 b2 (a b)2 2ab， (a b)2 (a b)2 4ab 幂的运算性质： am an am n am an am n (am)n amn (ab)n anbn ( )n n a n 1na， 特别： ( ) n ( )n a0 1(a 0)

3、如： a3 a2 a5， a6 a2 a4， (a3)2 a6， (3a3)3 27a9，( 3) 1 ， 5 2 ， ( ) 2 ( )2 ， ( 3.14) 1， ( )0 1 二次根式： ( )2 a(a 0)， 丨 a丨， ， (a 0， b 0) 如： (3 )2 45 6 a 0时， a 的平方根 4的平方根 2（平方根、立方根、算术平方根的概念） 一元二次方程：对于方程： ax2 bx c 0： 2 求根公式是 x 2 42b b aca ，其中 b2 4ac叫做根 的判别式 当 0时，方程有两个不相等的实数 根； 当 0时，方程有两个相等的实数根； 当 0时，方程没有实数根注意

4、：当 0时，方程有实数根 若方程有两个实数根 x1和 x2，并且二次三项式 ax2 bx c可分解为 a(x x1)(x x2) 以 a和 b为根的一 元二次方程是 x2 (a b)x ab 0 一次函数 y kx b(k 0)的图象是一条直线 (b是直线与 y轴的交点的纵坐标即一次函数在 y轴上的截距 )当 k 0时， y随 x的增大而增大 (直线从左向右上升 )；当 k 0时， y随 x的增大而减小 (直线从左向右下降 )特别：当 b 0时， y kx(k 0)又叫做正比例函数 (y与 x成正比例 )，图象必过原点 反比例函数 y (k 0)的图象叫做双曲线当 k 0时，双曲线在一、三象限

5、 (在每一象限内，从左向右降 )；当 k 0时，双曲线在二、四象限 (在每一象限内，从左向右上升 )因此，它的增减性与一次函数相反 统计初步 ： （ 1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量在一组数据中，出现次数最多的数 (有时不止一个 )，叫做这组数据的众数 将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数 (或两个数的平均数 )叫做这组数据的中位数 （ 2）公式：设有 n 个数 x1， x2， ， xn，那么： 平均数为： 12 . nx x xx n+ + += ； 极差： 用一组数据的最大值

6、减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差 =最大值 -最小值； 方差： 数据 1x 、 2x , nx 的方差为 2s ，则 2s = 2222 )(. . .)()(1 xxxxxxn n标准差：方差的算术平方根 . 3 数据 1x 、 2x , nx 的标准差 s ，则 s = 2222 )(. . .)()(1 xxxxxxn n一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。 频率与概率： （ 1）频率 =总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。 （ 2）概率 如果用 P 表示

7、一个事件 A 发生的概率，则 0P（ A） 1； P（必然事件） =1； P（不可能事件） =0； 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。 大量的重复实验时频率可视为事件发生概 率的估计值； 锐角三角函数： 设 A是 Rt ABC的任一锐角， 则 A的正弦： sinA ， A的余弦： cosA ， A的正切： tanA 并且 sin2A cos2A 1 0 sinA 1， 0 cosA 1， tanA 0 A越大， A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小 余角公式 ： sin(90 A) cosA， cos(90 A) sinA 特殊角的三角函数值：

8、 sin30 cos60 ， sin45 cos45 ， sin60 cos30 ， tan30 ， tan45 1， tan60 斜坡的坡度： i 铅 垂 高 度水 平 宽 度 设坡角为，则 i tan 平面直角坐标系中的有关知识： （ 1）对称性：若直角坐标系内一点 P（ a， b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（ a， b）， P 关于 y 轴对称的点为 P2（ a， b），关于原点对称的点为 P3（ a， b） . h l 4 （ 2）坐标平移：若直角坐标系内一点 P（ a， b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（ a h， b），向右平移 h个单位，坐标变为 P（ a h，

9、 b）；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（ a， b h），向下平移 h 个单位，坐标变为 P（ a， b h） .如：点 A（ 2， 1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（ 7， 1） . 二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 cbacbxaxy ,(2 是常数， )0a ，那么 y 叫做 x 的二次函数 . 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号决定抛物线的开口方向：当 0a 时，开口向上；当 0a 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 hx .特别地， y 轴记作直线 0x

10、. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x （ y 轴） （ 0,0） kaxy 2 0x （ y 轴） (0, k ) 2hxay hx (h ,0) khxay 2 hx (h ,k ) cbxaxy 2 abx 2 (a bacab 442 2 ， ) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （ 1）公式法：a bacabxacbxaxy 442222 ， 顶点是 ），（ a bacab 442 2 ，对称轴是直线 abx 2 . （ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 khxay

11、 2 的形式，得到顶点为 (h ,k )，对称轴是直线 hx . （ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点 12( , ) ( , )、x y x y （及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： 122xxx 9.抛物线 cbxaxy 2 中， cba , 的作用 5 （ 1） a 决定开口方向及开口大小 ，这与 2axy 中的 a 完全一样 . （ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 cbxaxy 2 的对称轴是直线 abx 2 ，故： 0b 时，对称轴为 y 轴； 0ab （即 a 、 b

12、同号）时，对称轴在 y 轴左侧； 0ab （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧 . （ 3） c 的大小决定抛物线 cbxaxy 2 与 y 轴交点的位置 . 当 0x 时， cy ， 抛物线 cbxaxy 2 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）： 0c ，抛物线经过原点 ; 0c ,与 y 轴交于正半轴； 0c ,与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 0ab . 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （ 1）一般式： cbxaxy 2 .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 . （ 2）顶

13、点式： khxay 2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 . （ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式： 21 xxxxay . 12.直线与抛物线的交点 （ 1） y 轴与抛物线 cbxaxy 2 得交点为 (0, c ). （ 2）抛物线与 x 轴的交点 二次函数 cbxaxy 2 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 1x 、 2x ，是对应一元二次方程 02 cbxax 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点 ( 0 ) 抛物线与 x 轴相交； 有一个交点（顶点在 x 轴上） ( 0

14、) 抛物线与 x 轴相切； 没有交点 ( 0 ) 抛物线与 x 轴相离 . （ 3）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（ 2）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为 k ，则横坐标是 kcbxax 2 的两个实数根 . （ 4）一次函数 0 knkxy 的图像 l 与二次函数 02 acbxaxy 的图像 G 的交点，由方程6 组 cbxaxy nkxy 2的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方 程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点； 方程组无解时 l 与 G 没有交点 . （ 5

15、）抛物线与 x 轴两交点之间 的距离：若抛物线 cbxaxy 2 与 x 轴两交点为 00 21 ， xBxA ，则 12AB x x 多边形内角和公式： n边形的内角和等于 (n 2)180（ n 3， n是正整数） ，外角和等于 360 平行线分线段成比例定理： （ 1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图： a b c，直线 l1 与 l2 分别与直线 a、 b、 c 相交与点 A、 B、 C D、 E、 F，则有 ,A B D E A B D E B C E FB C E F A C D F A C D F （ 2）推论：平行于三角形一边的直线截其

16、他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 如图： ABC 中， DE BC， DE 与 AB、 AC 相交与点 D、 E，则有： ,A D A E A D A E D E D B E CD B E C A B A C B C A B A C 直角三角形中的射影定理：如图： Rt ABC 中， ACB 90o， CD AB 于 D，则有： （ 1） 2CD AD BD（ 2） 2AC AD AB（ 3） 2BC BD AB 圆的有关性质 ： （ 1） 垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的 任意两个性质：经过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧； 平分弦所对的优弧，那么这条直线就具

17、有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径（ 2）两条平行弦所夹的弧相等（ 3）圆心角的度 数等于它所对的弧的度数（ 4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（ 5）圆周 角等于它所对的弧的度数的一半（ 6）同弧或等 弧所对的圆周角相等（ 7）在同圆或等圆中，相等的圆 周角所对的弧相等（ 8） 90的圆周角 所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是 90，直径是最长的弦（ 9）圆内接四边形的对角互补 三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点三 角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点 CA BDacABCDEFl

18、 1bl 2AB CD ECEABD7 常见结论：（ 1） Rt ABC 的三条边分别为： a、 b、 c（ c 为斜边），则它的内切圆的半径 2a b cr ； （ 2） ABC 的 周长 为 l ， 面积为 S，其 内切 圆 的半径为 r，则 12S lr 弦切角定理及其推论： （ 1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图： PAC 为弦切角。 （ 2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC 是 O 的弦， PA 是 O 的切线， A 为切点，则 1122P A C A C A O C 推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明

19、角相等） 如果 AC 是 O 的弦， PA 是 O 的切线， A 为切点，则 PAC ABC 相交弦定理、割线定理、切割线定理： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，即： PAPB = PCPD 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图，即： PAPB = PCPD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即： PC2 = PAPB 面积公式： S正 (边长 )2 S平行四边形 底高 S菱形 底高 (对角线的积 )， 1 ()2S 梯 形 上 底 下 底 高 中 位 线 高 POCA BDPOCBA DPOCA BO P B C A 8 S圆 R2 l圆周长 2 R 弧长 L 2 1360 2nrS lr扇 形 S圆柱侧 底面周长高 2 rh， S全面积 S侧 S底 2 rh 2 r2 S圆锥侧 底面周长母线 rb， S全面积 S侧 S底 rb r2