信息与计算科学毕业论文：数学与哲学之我见.doc

1、 本科毕业论文 （ 20 届） 数学与哲学之我见 所在学院 专业班级 信息与计算科学 学生姓名 学号 指导教师 职称 完 成 日 期 年 月 II 摘要 数学和哲学有着极为悠久的历史 , 早在很久的时候 , 就有人认识到 : 假如我们的生活失去了哲学 , 那么我们就不能认识到数学的深度 ; 假如我 们的生活失去了数学 , 那么我们就不能认识到哲学的深度 . 数学与哲学就是这样 , 彼此都不能分离 . 对于哲学的认识 , 我们知道 , 它是关于人类社会常识、自然科学以及思维常识的认识与研究 , 作为一门科学 , 我们用它来考察这个世界的根本特质及客观规律 ; 然而 , 作为哲学不可分割的一部分

2、, 数学扮演着研究数量存在的关系和目前现实的世界空间形式的角色 . 数学与哲学彼此相依 , 作为方法论 , 哲学向数学提供了指导作用 , 与此同时数学也时刻地影响着我们所认可的一些观点 , 包括我们的人生观、世界观 . 当数学对那些所进行考察 的对象做出了量的规定时 , 众多非常深刻的哲学意义同时也蕴涵在数学中的一些非常基本的概念之中 . 数学与哲学向来都是不可分的 , 互相联系 , 互相发展的 , 通过历史的见证 , 我们得知数学的发展时刻经深受哲学的影响 , 与此同时数学又更为深刻地 , 不断的影响着哲学的深入发展 . 本文就分别从数学的发展在哲学中的渗透及哲学的发展对数学的影响探讨了它们

3、两者的关系 . 关键词 : 数学 ; 哲学 ; 发展 III Abstract The relationship between mathematics and philosophy has a long history. A philosopher said, without mathematics, we cannot understand the philosophy deeply. Philosophy is about social, natural and thinking knowledges generalization and summary. It is the scien

4、ce which reseachs the essence and regulation of the whole world; Mathematics is the specific science which researchs quantitative relation and the real world space form. Philosophy provides the methodology basis to mathematics, while mathematics also affects peoples philosophical viewpoint, and it p

5、roduce, change and develop according to the philosophys basic rules. When math make the unitage to the researching object, many profound philosophical significance also contain some concepts in mathematics. Mathematics and philosophy are always inseparable, the development of math is influenced by t

6、he philosophy all the time. Meanwhile, mathematics deeply influence the development of philosophy. This paper discusses the relationship between development of mathematics and philosophy according to the interaction to philosophy and mathematics. Key words: Mathematics, Philosophy, Development IV 目

7、录 摘要 . I Abstract .III 1 前言 . 1 2 数学对哲学的渗透 . 2 2.1 数学的前进过程 , 深化了对哲学基础概念的理解 . 2 2.2 数学的发展 合情推理 , 发现逻辑的存在模式 . 4 2.3 数学的不断发展改革了科学的思想观念 . 7 2.4 数学发展促进了哲学思想的发展 . 8 3 哲学对数学的影响 . 11 3.1 在世界观中 , 哲学为数学指引前进方向 .11 3.2 哲学作为一种方法论 , 为数学提供了杰出的探索工具和认识工具 .11 4 小结 . 14 参考文献 . 15 致谢 . 错误 !未定义书签。 1 1 前言 哲学 , 直观得表现出对这个世

8、界的认识是社会文化 , 自然科学 , 思维结构的囊括与衍生分析 , 是论点和对世界感官的结合思想 , 是社会意识形态的具体表现形式 , 是根据哲学的世界观和方法论为根本内容 , 是以追求世界的本质 , 本源 , 共性与绝对 , 终极的形而上学为形式的社会科学 1. 它与自然科学的关系是辨证统一的 , 然而 , 它们之间又是有所区别的 . 说它们辩证的统一 , 因为是它们探讨的对象都是不依存与世界且独立存在的外在条件 . 而它们存在的差异性仅在于 : 哲学阐述的是彼此相同的事物 , 而同时它也存在于客观物质世界中 , 那些运动的普遍形式而存在的相关性以及一直存在的规律 . 而自然科学则都是以世界

9、中所存在的相对领域为它的探讨目标 , 并 且研究物质中的一种运动形式的异于其他的一些规律 ; 由此 , 我们可以知道 , 哲学与科学之间的关系是互相制约 , 互相作用 , 并且相互间不可变化的 . 数学 , 是研究空间形式和客观世界数量关系的一门自然科学 . 它不仅向我们提供了一些重要的研究方式和计算方法 , 并且 , 它还有着科学的语言 , 想象的空间 , 与此同时 , 它更是建立最重要的辩证唯物的主义哲学的基础科学其中之一 2. 数学还有着精炼的思想内涵 , 创新的方式方法 , 紧密的逻辑推理能力 , 简单的操作手法 , 以便阐明细枝末节 , 充实其探讨对象 , 并揭示一般性存 在的真实规

10、律 , 从而使我们形成了丰富的完整的学习体系 . 数学印证了原有的基本问题或关于哲学方面的对象 , 同时 , 数学有着十分紧密的的逻辑思维 , 丰富的空间想象能力 , 十分普遍的实际操作能力等重要特征 , 哲学与自然有很多地方积极相似 , 因此 , 这也归属了哲学和自然将一定有着甚是紧密的联系 . 本文对数学与哲学之间相互联系进行进一步的思考及研究 , 同时 , 对其进行深入研究和探讨 . 2 2 数学对哲学的渗透 2.1 数学的前进过程 , 深化了对哲学基础概念的理解 美国数学家鲁宾逊 1960年创立了实数 的非标准模型 , 其具体描述是 : 在 数学中利用现代数理逻辑把通常实数结构扩张为包

11、括无穷小数与无穷大数的结构而形成的一个新分支 . 这一模型 , 给予了无限小和无限大极为严格的理论依据 , 同时也为微积分提供了更为坚实的理论基础 , 因此 , 在此基础上 , 创建了一个全新的关于微积分的理论 非标准分析 3. 图 1: 非标准分析 我们在非标准分析中 , 通过建立起一个非标准实数坐标轴 , 同时通过引入一个新的概念即单子的概念 , 这样 , 我们就能使非标准实数坐标轴变成一个空间 , 同时它也是关于层次结构的空间 . 在这个空 间中 , 可以得知 , 单子的外面所表现出来的是不同的数量层次之间所存在的质的差异 ; 而在单子的里面所包含的是那些无穷小量 , 它们之间仅仅是量上

12、的区别 , 因此 , 它的比值并不是无限的 , 它是有限的 , 其运算方法与性质和单子外面的那些普通的实数并无多大差别 . 而在非标准分析理论还没有建立之前 , 人们在讨论 “质量互变规律 ” 中的 “量 ” 时 , 他们都还没有意识到无限数量的变化引起质变 , 而在非标准分析的建立下 , 为表述出这样一个数学模型 , 它是由 “质量互变规律 ” 在那些 “无限的领域 ” 具体表现的 . 于是 , 可 以得知 , 通过对非标准分析创立 , 使得 “质量互变规律 ” 得到了进一步的丰富 , 同时 , 哲学知识也进一步得到了丰富 . 数学家托姆（ R. Thom）发现 , 在自然界中 , 以及社会

13、的各个领域中都大量的存在着总多不 连续的 , 变化 的 现象 , 于是 , 我们可以运用数学中微分映射中的奇点理论 , 替这些客观存在的现象构造一个数学模型 , 由此来来预测研究并且控制这些客观的对象 , 这恰恰为突变论的由来提供了坚实的理论依据 4. 众所周知 , 突变理论的主要工具是拓扑学 , 其主要基础又是凭借着结构的相对稳定性定理 , 3 并以此得 到了一个崭新的判别突变原则 , 而所谓飞跃的原则 , 就是在那些极为严格的控制条件下 , 假如在质变中所经历的那些中间过渡态是相对稳定的 , 则我们就将它称作为一个渐变的过程 . 我们来打个比方 , 假设要砍一棵树 , 如果从树顶开始一段一

14、段地去砍这棵树 , 那么整个过程就是结构相对稳定的渐变过程 . 如果从树根开始砍 , 那么砍到一定的程度 , 就会破坏这棵树的结构的相对稳定性 , 那么树就会立刻倒了下来 . 可以得知 , 我们所破坏的这种结构稳定性就是突变 , 就是飞跃的过程 . 再来打个比方 , 我们拿社会进行变革的角度来看 , 从腐朽 的封建主义向较为先进的资本主义过渡 , 不同国家所采取的过渡方式各不相同 , 大都国家所采用的方式是暴力来实现制度的过渡 , 而英国所采取的方式就截然不同 , 它的君主立宪制是一种改革的模式 , 凭借着渐变的方式来实现的 . 面对这些结构所表述一些稳定的现象以及一些不稳定的现象 , 突变理

15、论作了一系列定义 , 该定义是用势函数的 “洼存在 ” 用来表述它的稳定状态 , 而用 “洼取消 ” 用来表述它的不稳定状态 , 并且 , 它有着属于自身的一种运算的方法 . 例如 , 当一个乒乓球存在与洼的底部时 , 所表现的是稳定的状态 , 但如果将它 重新放置 , 放在突起的部位时 , 这时 , 它所变现出来的状态是不稳定的 , 我们会发现 , 乒乓球会从突起的顶部 , 渐渐的不稳定的滚着 , 直到它到达新的洼的底部 , 这里 , 事物就发生了突变 ; 如果当乒乓球到了新的洼地底处时 , 则又开始了新的稳定状态 , 于是可以得出 , 势函数所表述的洼存在和洼消失分别是判断事物的渐变过程与

16、突变过程 , 稳定性和不稳定性的根据 . 著名数学家托姆与 1972年所提出的突变理论 , 就是采用数学模型来表述出系统的状态进行巨大的提升 , 并且向我们提供了系统处在一个稳定的状态时具有的参数区域 , 当 其中的参数发生了改变时 , 那些系统的状态也将随之发生改变 , 而当参数发生了变化 , 且通过一些特殊的地方时 , 那些系统的状态则会发生突变 . 图 2: 突变模型 突变理论已经向我们提出了众多的数学模型 , 用来解释社会现象和自然界中所发生的那些间断的变化形式 , 用来表述那些不同的现象从形态的某种形式毫无预料地飞跃到与本身毫4 不相同的其他的形式的原因 . 就像房屋的倒塌 , 玻璃

17、的碎裂 , 家庭的破坏 , 生存模式的改变 , 种类的变异以及物种的进化 . 依照突变理论所定义的 , 社会现象和自然界中的那些众多的不连续的事情 , 都能通过一些特殊的几何形状表述出来 . 突变理论得出 , 那些由一维空间以及三维空间的四个因子所控制下的种种突变 , 存在着 7种不同的突变类型 , 即折迭突变 , 尖顶突变 , 燕尾突变 , 蝴蝶突变 , 椭圆脐形突变 , 双曲脐突变以及抛物脐形突变 .5 打个比方 , 如果用两个手指捏住一段有富有较大弹性的钢丝 , 使它向上不断弯曲 , 在此基础上 , 再用力压钢丝使它变形 , 当达到钢丝所能承受的一个临界程度时 , 它会突然的向下弯曲 ,

18、 并且失去了本应具有的弹性 . 这样简单的一个小实例 , 就是我们日常生活中经常见到的一种突变的模 型 , 它存在着两个稳定的状态 , 即向上弯曲和向下弯曲 , 而对这些状态所决定的因素是 : 其中一个是钢丝的压力（垂直的方向） , 另一个则是手指所夹的力（水平的方向） , 可以利用尖顶突变模型很好的来表达 . 在突变模型中 , 存在着一些特殊的模型 , 它们能够在不同质态的情况下彼此互相转化 . 而在自然界中 , 还存在着一些不可逆的过程 , 就好像 , 死亡是一种特殊突变 , 只能是活人变成死人 , 而死人变成活人这种情况是不存在的 . 对于这一类过程可用燕尾突变解释 . 因此 , 可以得

19、知 , 突变理论是运用精确而形象的数学理论 , 及数 学模型来表述那些 质量互变的过程 . 由上面的种种实例可以表明 , 在某些特定的情况下 , 质变的表现形式多种多样 , 它可以是渐变的形式 , 同时它也可以是突变的形式 . 所以 , 我们可以对此给予一个特定的条件 , 改变它的某些控制的因素 , 那么存在着一个渐变的过程能转化成飞跃的形式 ; 同理可得 , 存在着一个飞跃的过程也可以通过对它给予指定条件 , 进而转化成飞跃 . 突变模型还向我们展示了 : 在奇点（质变点）附近的一切 事物所具有的状态的变化 , 既存在着各种各样的可行性 , 而且也存在着不确定性 , 随机性 . 怎样很好地把

20、握 质变所需要的条件以及多样性的形式 , 对于良好的理解和运用 “质量互变的规律 ”, 了解以及创新整个世界有着极为重要的指导作用 . 很好的认识奇点（质变点）这个特殊存在的点 , 并且尽自己一切的力量 , 使得事情向我们所希望得到的结果靠近 . 这是运用 “质量互变规律 ” 来改造客观世界的提供的方法论 . 2.2 数学的发展 合情推理 , 发现逻辑的存在模式 合情推理是波利亚的 “启发法 ”（ heuristic, 即 “有助于发现的 ”）中的一个极为代表性的一个推理模式 . 波利亚发现 , 我们可以通过对一些问题的解决过程 , 特别是对 那些已经存在的成功的实践经历的进一步学习研究 ,

21、得出了能够解决所有问题的 “万能方法 ”在现实生活中是不可能存在的 ; 每当人们解决问题的时候 , 总是需要针对具体面对的情况 , 时不时地向自己提出5 一些发人深省的问题 , 而这些问题往往是包含了启发性的意义 , 用来开发和促进人们空间想象能力 6. 波利亚通过科学的思考及研究 , 把推理分成了两种模式 , 其一为论证推理 ; 其二则是合情推理 . 论证推理 , 在数学中运用极为广泛 , 它不是偶然性的推理 , 它往往饱含着严密的逻辑性和严格的标准 , 我们的各个推理想法都必须符合该逻 辑规则 . 相反的 , 合情推理则以另一种形式存在着 , 它正是一种或然性的推理 , 它的结论往往超越了

22、前提所包容的范围 , 伴随着猜想的成分 , 所以推理所得到的结论不一定是正确的 , 然而合情推理具有着探索和提供证明 ,猜测和发现结论的思路和方向的作用 . 实际上 , 论证推理所存在的作用极为广泛 , 而最为主要的是用来解释与肯定那些我们所学习到的科学文化知识 . 归纳推理和类比推理都是一种推理 , 这种推理是合情推理 , 它根据已经存在的事实条件 , 经过仔细地观察 , 认真地分析 , 不断地联想 , 最后进行总结归纳 , 类比推理 , 之 后再得到自己猜想的一种推理 7. 所谓归纳推理 , 就是 将 个别性 的 知识 进行归纳 , 从而 推 论 出 一些简单的 结论的推理 . 例如 :

23、锐角 三角形 中所有的 内角和 都 是 180。 ; 直角 三角形 中所有的 内角和 也都 是 180。 ; 钝角三角形 中所有的 内角和 同样 是 180。 ; 通过分析可以得出 , 锐角 角三角形 , 直 角三角形 以及 钝角三角形 它们的集合组成了 全部的三角形 ; 因此 , 可以得出一个结论 : 所有 三角形 的 内角和都是 180。 . 以上的例子 从 锐 角三角形 , 直 角三角形 以及 钝角三角形 所有的 内角和分别都是 180。 这些个 的 别性 质 , 推 导 出了 “所有 三角形 的 内角和 ” 都是这样的一般性结论 , 这 就 是 归纳推理 . 类比推理是根据两个不同对象

24、在某些方面的相似之处 , 推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处 . 比如我们可以利用平面向量的性质类比得空间向量的性质 , 见表 1. 表 1 平面向量 空间向量 6 若 12( , )a a a 12( , )b b b 则 : 1: 1 1 2 2( , )a b a b a b 2: 1 1 2 2( , )a b a b a b 3: 12( , )( )a a a R 4: 1 1 2 2a b a b a b 5: 1 1 2 2, ( )a b a b a b R 6: 1 1 2 2 0a b a b a b 7: 2212a a a 若 1 2 3( , , )a a

25、a a 1 2 3( , , )b b b b 则 : 1: 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b 2: 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b 3: 1 2 3( , , ) ( )a a a a R 4: 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b 5: 1 1 2 2 3 3, , ( )a b a b a b a b R 6: 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b 7: 2221 2 3a a a a 再如 , 圆和球 , 它们在形状上和概念上 , 都有类似的地方 , 即具有完美的对称性 , 都是到

26、定点的距离等于定长的点的集合 , 见表 2. 表 2 圆的性质 球的性质 圆的周长 : 2CR 球的表面积 : 24SR 圆的面积 : 2SR 球的体积 : 343VR 与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相等 , 距圆心较近的弦较长 与球心距离不相等的两截面面积不相等 , 距球心较近的面积较大 以点 00( , )xy 为圆心 , r 为半径的圆的方程为2 2 200( ) ( )x x y y r 以点 0 0 0( , , )x y z 为球心 , r 为半径的球的方程为 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z

27、r 圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面 (圆面 )的圆心的连线垂直于截面 通过众多的实例可以得到 , 合情推理模型存在着极为普遍的适应性 , 是科学发现逻辑的一般模式 . 恩格斯认为 : 思维和存在的关系问题是哲学尤其是近代哲学所关心的重大的基本问题 . 而这个问题总共包括了两个方 面 , 第一个是思维与存在究竟哪一个为本原的问题 ; 第二个是思维和存在究竟有没有同一性的问题 , 也就是正确反映了我们的所具有的思维到底能不能认识现实以及正确地反映当代现实世界的问题 . 而我们以逻辑哲学这样的一个角度来研究时 , 它存在的重大的基本问题就是客观现实与逻辑的关系的问题 .8 目前 , 我们已经清楚得到了 , 数学的快速发展有助于我们发现逻辑的模式 , 同时为解决客观现实提供了强有力的保障 . 因而 , 其对哲学发展的作用是显而易见的 .