重积分、曲线积分、曲面积分.doc

1、 1 重积分、曲线积分、曲面积分 一、曲线积分 第一型曲线积分 (对弧长 ) 定义： 设 L 为平面上可求长度的曲线段， ( , )f xy 为定义在 L 上的函数。对曲线 L 作分割 T ，它把 L 分成 n个可求长度的小曲线段 ( 1, 2, , ),iL i n iL 的弧长记为 ,is 分割 T 的细度为1max ,iinTs在 iL 上任取一点 ( , )( 1, 2, , ).ii in 若极限 0 1lim ( , )ni i iT i fs 存在，则称此极限值为 ( , )f xy 在 L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作 ( , )L f x y ds。 若 L 为空

2、间可求长曲线段， ( , , )f x yz 为定义在 L 上的函数，则可类似定义 ( , , )f x yz 在空间曲线 L 上的第一型曲线积分，并且记为 ( , , )L f x y z ds。 性质： 1. 若 ( , ) ( 1, 2 , , )iL f x y ds i k存在， ( 1, 2, , )ic i k 为常数，则1 ( , )kiiL i c f x y ds也存在，且 11( , ) ( , ) .kki i i iLLiic f x y d s c f x y d s2. 若曲线段 L 由曲线 12,kL L L 首尾相接而成，且 ( , ) ( 1, 2 , ,

3、)iL f x y ds i k都存在，则 ( , )L f x y ds也存在，且 1( , ) ( , ) .ikLLif x y d s f x y d s 3. 若 ( , )L f x y ds与 ( , )Lg x y ds都存在，且在 L 上 ( , ) ( , ),f x y g x y 则 ( , ) ( , ) .LLf x y ds g x y ds4. 若 ( , )L f x y ds存在，则 | ( , ) |L f x y ds也存在，且 | ( , ) | | ( , ) |LLf x y d s f x y d s。 5. 若 ( , )L f x y ds存

4、在， L 的弧长为 s ，则存在常数 c ，使得 ( , )L f x y ds=cs 。 计算 设有光滑曲线 ( ),: , ,( ),xtLtyt 函数 ( , )f xy 为定义在 L 上的连续函数，则 2 2 2( , ) ( ( ) , ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )L f x y d s f t t t t d t 。 若曲线 L 由方程 ( ), , y x x a b表示，且 ()x 在 , ab 上连续可导，则 2( , ) ( , ( ) ) 1 ( ( ) ) .bLaf x y d s f x x x d x例 1. 设 L 是 2 4yx 从 (0,0)O

5、 到 (1,2)A 一段，试计算第一型曲线积分 .Lyds解 22041 ( 2 2 1 ) .43Lyy d s y d y 例 2. 计算 2 ,Lxds其中 L 为球面 2 2 2 2x y z a 被平面 0x y z 所截得的圆周。 解 由对称性知 2 2 2 ,L L Lx ds y ds z ds 所以 22 2 2 2 312( ) .3 3 3L L Lax d s x y z d s d s a 第二型曲线积分（对坐标） 有向曲线：带有方向的曲线称为有向曲线，其正方向是指从起点到终点的方向。简单闭曲线的正方向是指逆时钟方向。 定义： 设函数 ( , )Pxy 与 ( , )

6、Qxy 定义在平面有向可求长度曲线 L :AB 上，对 L 的任一分割 T ，它把 L 分成 n 个小曲线段 1iiMM ( 1,2, , ),in 其中 0 , nM A M B。记各小曲线段 1iiMM 的弧长为 is ，分割T 的细度1max .iinTs又设 T 的分点 iM 的坐标为 (,)iixy ， 并 记1,i i ix x x 1 ( 1 , 2 , , ) .i i iy y y i n 在每个小曲线段 1iiMM 上任取一点 ( , )ii ，若极限 0011l im ( , ) l im ( , )nni i i i i iTTiiP x Q y 存在，则称此极限为函数

7、 ( , ), ( , )P x y Q x y沿有向曲线 L 上的 第二型曲线积分（对坐标） ，记为 ( , ) ( , )L P x y dx Q x y dy或 ( , ) ( , )AB P x y dx Q x y dy。 上述积分还可写作 ( , ) ( , )LLP x y dx Q x y dy或 ( , ) ( , )A B A BP x y d x Q x y d y。 为方便，上述积分可简写成LPdx Qdy。若 L 是闭曲线，上述积分可写成 LPdx Qdy。 若 L 为空间有向可求长度曲线， ( , , ) , ( , , ) , ( , , )P x y z Q x

8、 y z R x y z为定义在 L 上的函数，则类似地可定义3 沿空间有向曲线 L 上的第二型曲线积分，记为 ( , , ) ( , , ) ( , , )L P x y z d x Q x y z d y R x y z d z 可简写成L Pdx Qdy Rdz。 注：第一型曲线积分与曲线的方向无关，第二型曲线积分与曲线的方向有关。 性质： 1. .A B B AP d x Q d y P d x Q d y 2. 若iiLPdx Qdy ( 1,2, , )ik存在，则11kki i i iL iic P dx c Q dy 也存在，且 1 1 1 ,k k ki i i i i i

9、iLLi i ic P d x c Q d y c P d x Q d y 其中 ( 1, 2, , )ic i k 为常数。 3. 若有向曲线 L 是由有向曲线 12, , , kL L L 首尾相接而成，且 ( 1, 2 , , )iL P d x Q d y i k存在，则LPdx Qdy也存在，且 1 .ikLLiP d x Q d y P d x Q d y 计算： 设平面曲线 ( ),: , ,( ),xtLtyt 其中 ( ), ( )tt在 , 上具有一阶连续导函数，且点 A 与 B 的坐标分别为 ( ( ), ( ) 与 ( ( ), ( ) 。又设 ( , )Pxy 与 (

10、 , )Qxy 为 L 上的连续函数， 则 ( , ) ( , ) ( ( ) , ( ) ) ( ) ( ( ) , ( ) ) ( ) .LLP x y d x Q x y d y P t t t Q t t t d t 例 1. 计算 ( ) ,L xydx y x dy其中 L 是由 (1,1)A 沿抛物线 22( 1) 1yx 到 (2,3)B 的有向曲线。 解 L 为 22 ( 1) 1,1 2 ,y x x 所以 2 2212 321() 2( 1 ) 1 2( 1 ) 1 4( 1 ) 10( 10 32 35 12) .3Lx y dx y x dyx x x x x dxx

11、 x x dx 例 2. 计算第二型曲线积分 4 2()LI xyd x x y d y x d z ， 其中 L 是螺旋线： c o s , s in ,x a t y a t z b t 从 0t 到 t 上的一段。 解 直接使用公式得 3 2 2 2 2 2 203 3 2 2 2 20( c o s sin c o s sin c o s c o s )1 1 1 1 1sin sin ( 1 ) sin 2 ( 1 ) .3 2 2 2 2|I a t t a t a t t a b t d ta t a t a b t t a b 应用 求变力作功 力 ( , ) ( ( , )

12、, ( , ) )F x y P x y Q x y 沿有向曲线 L 对质点所作的功为 ( , ) ( , )LW P x y d x Q x y d y。 例 3 求在力 ( , , )F y x x y z 的作用下，质点由 (,0,0)Aa 沿螺旋线 1L ：c o s , s i n , , 0 2x a t y a t z b t t 到 ( ,0,2 )B a b 所作的功。 解 由于 s i n , c o s ,d x a td t d y a td t d z b d t ，所以直接使用公式可得 12 2 2 2 2 2 2 20()( sin c o s c o s sin

13、 ) 2 ( ) .LW y d x x d y x y z d za t a t a b t a b t b t d t b a 习题 1. 计算 | | ,L y ds其中 L 为单位圆周 221xy。 2. 计算 222L y z ds，其中 L 是 2 2 2 2x y z a 与 xy 相交的圆周。 3. 计算22,L xdx ydyxy其中 L 为圆周 221xy，依逆时钟方向。 4. 计算L xdx ydy zdz，其中 L ：从 (1,1,1) 到 (2,3,4) 的直线段。 5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由 (,0)a 沿椭圆移

14、动到 (0, )b ，求力所作的功。 答案： 1. 4， 2. 2 2a ， 3. 0， 4. 13， 5. 22( ),2k b a k 为比例系数。 二、 二重积分 定义： 设 D 为 xy 平面上的有界闭区域， ( , )f xy 为定义在 D 上的函数。用任意的曲线把 D 分成 n 个小区域 12, , .n 以 i 表示小区域的面积，这 些小区域构成 D 的一个分割 T , 以 id 表示小区域 i 的直径，称5 1max iinTd为分割 T 的 细度 。在每个 i 上任取一点 ( , )ii ， 作和式1 ( , )ni i ii f ，称它为函数 ( , )f xy 在 D上属

15、于分割 T 的一个 积分和。 如果 0 1lim ( , )ni i iT i f 存在，则称 ( , )f xy 在 D 上可积，此极限值就 称为 ( , )f xy 在 D 上的积分，记为 ( , )D f x y d，即 0 1( , ) l im ( , )ni i iD T if x y d f 。 定理： 有界闭区域上的连续函数必可积。 性质 ： 1. 若 ( , )f xy 在区域 D 上可积， k 为常数，则 ( , )kf xy 在 D 上也可积，且 ( , ) ( , ) .DDk f x y d k f x y d 2. 若 ( , ), ( , )f x y g x y

16、在 D 上都可积，则 ( , ) ( , )f x y g x y 在 D 上也可积，且 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .D D Df x y g x y d f x y d g x y d 3. 若 ( , )f xy 在 1D 和 2D 上都可积，且 1D 与 2D 无公共内点，则 ( , )f xy 在 12DD 上也可积，且 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) .D D D Df x y d f x y d g x y d 4. 若 ( , ), ( , )f x y g x y在 D 上都可积，且 ( , ) ( , )f x y g x y ， (

17、, ) ,x y D 则 ( , ) ( , )DDf x y d g x y d 5. 若 ( , )f xy 在区域 D 上可积，则 函数 ( , )f xy 在区域 D 上也可积，且 ( , ) ( , ) .DDf x y d f x y d 6. 若 ( , )f xy 在区域 D 上可积，且 ( , ) , ( , ) ,m f x y M x y D 则 ( , ) ,DDDm S f x y d M S这里 DS 是积分区域 D 的面积。 7（中值定理）若 ( , )f xy 在有界闭区域 D 上连续，则存在 ( , ) D ，使得 ( , ) ( , ) .DD f x y

18、d f S 几何意义： 若 ( , ) 0 , ( , )f x y x y D，则 ( , )D f x y d表示以 D 为底，以 ( , ), ( , )f x y x y D为曲顶的曲顶柱6 体的体积，特别地，Dd表示 D 的面积。 计算： 1. 若 ( , )f xy 在矩形区域 , , D a b c d上可积，则 ( , ) ( , ) ( , )b d d bD a c c af x y d d x f x y d y d y f x y d x 。 2. 若 ( , )f xy 在 x 型区域 12 ( , ) | ( ) ( ) , D x y y x y y x a x

19、b 上连续，其中 12( ), ( )y x y x 在 , ab 上连续，则 21()()( , ) ( , )b y xD a y xf x y d d x f x y d y 。 若 ( , )f xy 在 y 型区域 12 ( , ) | ( ) ( ) , D x y x y x x y c y d 上连续，其中 12( ), ( )x y x y 在 , cd上连续，则 21()()( , ) ( , )d x yD c x yf x y d d y f x y d x 3. （极坐标变换）在极坐标变换 c o s ,: 0 , 0 2sin ,xrTryr 下， xy 平面上的有

20、界区域 D 与r 平面上的区域 相对应，则 ( , ) ( c o s , s i n ) .D f x y d x d y f r r r d r d 注：当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 22()f x y 时，我们选用极坐标变换进行积分比较方便。 例 1. 设 D 是由直线 0, 1xy及 yx 围成的区域，试计算： 22 yDI x e d的值。 解 2211230 0 01 .3y yyI d y x e d x y e d y 由分部积分法可得： 11.63I e 注： 本题用先对 y 后对 x 的累次积分是计算不出来的。选用合适的积分次序对某些类型的重积分计算

21、是至关重要的。 例 2： 在下列积分中改变累次积分的顺序：22202 ( , )a axax xdx f x y dy 。 解： 222 2 22 2 2 2 20 2 0 022( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .a a x a a a y a a a ayya x x a a y aaad x f x y d y d y f x y d x d y f x y d x d y f x y d x 例 3： 计算22()xyDI e d ，其中 D 为圆域： 2 2 2x y R。 解 利用极坐标变换，有 22200 (1 ) .R rRI d re d r e 注： 本题若不

22、用极坐标变换计算，而用直角坐标系下化为累次积分计算，就会遇到计算 2ye dy 的问题，7 但 2ye dy 无法计算。 应用： 求曲顶柱体的体积 例 4： 求球面 2 2 2 2x y z R 被圆柱面 22x y Rx所割下部分的体积。 解： 由所求立体的对称性，我们只要求出在第一卦限内的部分体积后乘以 4，即得所求立体的体积。在第一卦限内立体是个 曲顶柱体， 其底为 xy 平面内由 0y 和 22x y Rx 所确定的区域，曲顶的方程为2 2 2 .z R x y 所以 2 2 24,DV R x y d 其中 22 ( , ) | 0 , D x y y x y R x ，用极坐标变换

23、后得 c o s 2 2 3 3 30 0 04 4 24 ( 1 s i n ) ( ) .3 3 2 3RV d R r r d r R d R 习题： 2. 计算 xyDed，其中 D 是由 | | | | 1xy所围成。 3. 改变累次 积分的次序： 2211 ( , )xxdx f x y dy 4. 计算 22sin ,D x y dxdy其中 2 2 2 2 ( , ) | 4 .D x y x y 5. 求由 22z x y和 z x y 所围成的立体的体积。 参考答案： 1. 1ee ， 2. 220 1 1 11 1 0 1( , ) ( , ) ,yyd y f x y

24、d x d y f x y d x 3. 26, 4. .8 格林公式（ Green 公式） 1格林公式 若函数 ( , ), ( , )P x y Q x y在闭区域 D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有 ( ) ,DLQP d P d x Q d yxy 这里 L 为区域 D 的边界曲线，并取正方向。（上述公式称为 格林公式 ）。 （区域边 界曲线的正方向规定为：当人沿边界 正向 行走 时，区域 D 总在它的左边 ） 若令 ,P y Q x 则得到一个计算平面区域 D 的面积 DS 的公式： 1 .2D DLS d xd y yd x 2曲线积分与路径的无关性 8 设 D 是单连通闭区域

25、，若函数 ( , ), ( , )P x y Q x y在 D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四条等价： （ i）沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L ，有 0;L Pdx Qdy(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L ，曲线积分LPdx Qdy与路径无关，只与 L 的起点及终点有关； （ iii）在 D 内处处成立 .PQyx（ iv） Pdx Qdy 是 D 内某一函数 ( , )uxy 的全微分，即在 D 内有 du Pdx Qdy。 例 1 计算ABxdy，其中 (0, )Ar, (,0)Br , 曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分 . 解 设坐标原点为 O，连接 ,O

26、AOB ，则 ,OAOB AB 围成四分之一圆域 D ，其边界曲线（正向）为 L ，应用格林公式有 D L O A A B B Od x d y x d y x d y x d y 由于 0 , 0 ,O A BOxdy xdy所以 21 .4A B Dxd y d r 例 2 计算22L xdy ydxI xy ，其中 L 为不通 过原点的简单光滑闭曲线， L 为逆时钟方向。 解 记2 2 2 2,yxPQx y x y，则 222 2 2()Q P y xx y x y 。 （ 1） 当 L 不包含原点时，由格林公式得 ( ) 0 ,Q PxyLDI P d x Q d y d 其中 D

27、是 L 包含的闭区域。 （ 2） 当 L 包含原点时， , , ,PQPQyx在 (0,0) 点处不连续，不满足格林公式使用条件。为此，作一个以原点为心半径充分小的圆 : c o s , s i n , : 2 0 ,L x y 则 L 为顺时钟方向， L 与 L 所围闭区域为 1D ，则 1 ( ) 0Q PxyL L DP d x Q d y d 。 于是 022s in ( s in ) c o s c o s 2.LI P d x Q d yd 习题 1. 应用格林公式计算曲线积分： 2 2 2( ) ( ) ,LI x y d x x y d y 其中 L 是以 (1,1)A ， (

28、3,2), (2,5)BC为顶点9 的三角形，方向取正向。 2. 计算 ( s i n ) ( c o s ) ,xxAB e y m y d x e y m d y 其中 m 为常数， AB 为由 (,0)a 到 (0,0) 经过圆 22x y ax上半部分的路线。 答案： 1. 246 ,3 2. 28ma 。 三、 三重积分 定义 ： 设 ( , , )f x yz 为定义在三维空间可求体积的有界区域 V 上的函数，用若干光滑曲面所组成的曲面网 T 来分割 V ，它把 V 分成 n 个小区域 12, , , nV V V 。记 iV 的体积为1( 1 , 2 , , ) , m a x

29、.ii inV i n T V 的 直 径在每个小块 iV 上任取一个点 ( , , )i i i ，作积分和 1 ( , , ) .ni i i ii fV 若 0 1lim ( , , )ni i i iT i fV 存在，则称 ( , , )f x yz 在 V 上可积，此极限值称为函数 ( , , )f x yz 在 V 上的三重积分。记为 ( , , )V f x y z dV或 ( , , )V f x y z dxdydz， 其中 ( , , )f x yz 称为被积函数， ,xyz 称为积分变量， V 称为积分区域。 当 ( , , ) 1f x y z 时，VdV表示 V 的

30、体积。 性质： 三重积分的性质与二重积分的性质相同，例如：有界闭区域 V 上的连续函数必可积。 计算： 1. 若函数 ( , , )f x yz 在长方体 , , , V a b c d e f 上的三重积分存在， , , D c d e h，则 ( , , ) ( , , ) ( , , )b b d hV a D a c ef x y z d x d y d z d x f x y z d y d z d x d y f x y z d z 。 2. “穿针法”：设空间区域 在 xoy 平面上的投影为 xyD ， 12 ( , , ) | ( , ) , ( , ) ( , ) xyx y

31、 z x y D z x y z z x y ， 则 21( , )( , )( , , ) ( , , )xyz x yD z x yf x y z d V f x y z d z d x d y 。 3. “截面法”： 若空间闭区域 12 ( , , ) | ( , ) , ,zx y z x y D c z c 其中 zD 是竖坐标为 z 的平面截闭区域 所得到的一个平面闭区域，则有 10 21( , , ) ( , , )zccDf x y z d x d y d z f x y z d x d y 。 注：当积分区域 为旋转体，被积函数不含 z （或不含 x ,不含 y ）时，用截面

32、法计算比较方便。 4. 柱面坐标变换：作柱面坐标变换 cos ,: sin ,xrT y rzzV 为 V 在柱面坐标变换下的原像， 则 ( , , ) ( c o s , s i n , )VVf x y z d x d y d z f r r z r d r d d z 。 注：当积分区域是旋转体 （旋转轴为 z 轴）时，或者被积函数的形式为 22()f x y 时，我们选用柱面坐标变换进行积分比较方便 5. 球坐 标 变 换： 作 球 坐 标变 换 sin co s ,: sin sin ,co s ,xrT y rzrV 为 V 在 球 坐 标 变换 下 的 原像 ， 则 2( , ,

33、 ) ( s i n c o s , s i n s i n , c o s ) s i nVVf x y z d x d y d z f r r r r d r d d 。 （解释下 ,r 的几何意义）。 注：当积分区域是球或球的一部分，或者被积函数的形式为 2 2 2()f x y z时，我们选用球坐标变换进行积分比较方便。 例 1 计算22V dxdydzxy，其中 V 为由平面 1, 2 , 0 ,x x z y x 与 zy 所围成的区域。 解 V 在 xy 平面上的投影区域 ( , ) | 0 , 1 2 D x y y x x 是 x 型区域，这里 12( , ) 0 , ( , )z x y z x y y。用穿针法有 22 2 2 2 2 20 1 02 220111l n ( ) l n 2 .22 |yxVDxd x d y d z d z y d yd x d y d xx y x y x yx y d x 例 2 求 2 2 22 2 2 ,V x y zI dx dy dza b c 其中 V 是椭球体 2 2 22 2 2 1x y za b c 。 解 由于 2 2 22 2 2V V Vx y zI d x d y d z d x d y d z d x d y d za b c ， 由截面法得