06 第六节 定积分的几何应用.doc

1、第六节 定积分的几何应用分布图示 面积表为定积分的步骤 定积分的微元法 直角坐标情形 例 1 例 2 例 3 例 4 参数方程情形 例 5 极坐标情形 例 6 例 7 例 8 圆锥 圆柱 旋转体 旋转体的体积 例 9 例 10 例 11 例 12 例 13 平行截面面积为已知的立体的体积 例 14 例 15 内容小结 课堂练习 习题 5-6内容要点：一、 微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 （总量）表示为定积分的方法微U元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选

2、取一个积分变量，例如 为积分变量，并确x定它的变化区间 ，任取 的一个区间微元 ，求出相应于这个区间微元,ba, ,dx上部分量 的近似值，即求出所求总量 的微元U；dxf)(2) 由微元写出积分 根据 写出表示总量 的定积分UUbabadxf)(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量 关于区间 应具有可加性，即如果把区间 分成许多部分区间, U,baba则 相应地分成许多部分量, 而 等于所有部分量 之和. 这一要求是由定积分概念本U身所决定的;(2) 使

3、用微元法的关键是正确给出部分量 的近似表达式 ，即使得dxf)(. 在通常情况下，要检验 是否为 的高阶无穷小并非Udxf)( dxf)(易事，因此，在实际应用要注意 的合理性.dxfU)(二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 drdA2)(1所求曲边扇形的面积 .三、 旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)(2dxfdV所求旋转体的体积 .ba四 、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这

4、个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dxAV所求立体的体积 .ba例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例 1（E01）求由 和 所围成的图形的面积.xy22解 面积微元: ddA)(所求面积: x2101032x.例 2（E02）求由抛物线 与直线 所围成的面积.21yxy1解 如图, 并由方程组 2xy解得它们的交点为 ).3,(01选 为积分变量, 则 的变化范围是 任取其上的一个区间微元 则可xx,21 ,dx得到相应面积微元 ,)1()2dxxdA从而所求面积 .921例 3（E03）求由 和 所围成的图形的面积.xy24解 面积微元: ,24ddA所求面积: 42dyy2

5、4.18例 4 计算由曲线 和 所围成的图形的面积.xy632y解 面积微元:(1) ,02x;)(231dxdA(2) .62x所求面积: 302021ddxxdx)6()(302203.1253例 5 求椭圆 所围成的面积.2byax解 椭圆面积: ,41A面积微元: dayxA0402)cos(intatbtdb20sin4例 6（E04）求双纽线 所围平面图形的面积.2解 面积微元: ,cos1dAd所求面积: .24200 a例 7（E05）求心形线 所围平面图形的面积)cos1(r ).0(a解 面积微元: ,22dadA所求面积: .23sin41i23)cos21(2 0020

6、 aadadA 例 8 求出 和 的图形的公共部分的面积（其中 ）.2byax12ayx b解 如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的 8 倍，且线段在直线 上. 令 代入方程OA,sin,corr12yx得其极坐标方程为 22sincobar于是所求面积可表示为 dbadrS402240 sinco)(18 .tatnac02 rbb例 9（E06）连接坐标原点 及点 的直线、直线 及 轴围成一个直角三角O),(rhPhx形. 将它绕 轴旋转构成一个底半径为 高为 的圆锥体, 计算圆锥体的体积.x解 体积微元: ,dxhrdV2)(所求体积: xr02)(hr032.2r

7、例 10（E07）计算由椭圆 围成的平面图形绕 轴旋转而成的旋转椭球体的12byax体积.解 如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆 及 轴所围成的图形绕 轴2abyx旋转而成的立体 .取 为自变量，其变化区间为 任取其上一区间微元 相应于该区间微x,a,dx元的小薄片的体积，近似等于底半径为 高为 的扁圆柱体的体积，即体积微,2xbd元 ,dxabdV)(22故所求旋转椭球体的体积为adVdxab)(22adxb022)(032axab.24b特别地，当 时，可得半径为 的球体的体积RR.34RV例 11 求星行线 绕 轴旋构成旋转体的体积.)0(3/2/3/2ayxx解 体积微元 : ,32d

8、xadV所求体积: adx32.3105a例 12 计算由连续曲线 、直线 、 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴)(ycdyy旋转一周而成的立体的体积.解 体积微元: ,dydV2)(所求体积: .dc2)(例 13（E08）求由曲线 所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的,2xy2x旋转体的体积.解 画出草图,并由方程组 2xy解得交点为 及 于是,所求绕 轴旋转而成的旋转体的体积)1,(.( .3168)2( 0410 xdxxVx所求绕 轴旋转而成的旋转体的体积y .2121)2()2( 0110 yydydyy例 14（E09）一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成

9、角 （图 5-6-18） ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解 截面面积: ,tan)(21)2xRxA体积微元: ,dV所求体积: Rxtan)(122.tan3R例 15 求以半径为 的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为 的正劈锥体h的体积.解 取底圆所在的平面为 平面，圆心 为原点,并使 轴与正劈锥的顶平行.底圆的xOyx方程为 .22Ryx过 轴上的点 作垂直于 轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为)(xx,)(2xRhyA于是所求正劈锥体的体积为 RdxV)(Rdh220cosd,2hR即正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半.课堂练习1.求正弦曲线 和直线 及 x 轴所围成的平面图形的面积.23,0,sinxy232.求由曲线 及直线 所围成的平面图形的面积.1x,y3.求由抛物线 与直线 围成的图形,绕 轴旋转而成的旋转,10,22xy0y体的体积.