100个初等数学题目.doc

1、100个数学题目第 01题 阿基米德分牛问题 Archimedes Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的 1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的 1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的 1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的 1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数 1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的 1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的 1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？第 02题 德梅齐里亚克的法码问题 The Weight Problem o

2、f Bachet de Meziriac 一位商人有一个 40磅的砝码，由于跌落在地而碎成 4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这 4块来称从 1至 40磅之间的任意整数磅的重物.问这 4块砝码碎片各重多少？第 03题 牛顿的草地与母牛问题 Newtons Problem of the Fields and Cows a头母牛将 b块地上的牧草在 c天内吃完了；a头母牛将 b块地上的牧草在 c天内吃完了；a“头母牛将 b“块地上的牧草在 c“天内吃完了；求出从 a到 c“9个数量之间的关系？第 04题 贝韦克的七个 7的问题 Berwicks Problem of the Se

3、ven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * 7 * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第 05题 柯克曼的女学生问题 Kirkmans Schoolgirl Problem 某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一

4、行中散步，并恰好每周一次？第 06题 伯努利-欧拉关于装错信封的问题 The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求 n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第 07题 欧拉关于多边形的剖分问题 Eulers Problem of Polygon Division 可以有多少种方法用对角线把一个 n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第 08题 鲁卡斯的配偶夫妇问题 Lucas Problem of the Married Couples n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人

5、和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第 09题 卡亚姆的二项展开式 Omar Khayyams Binomial Expansion 当 n是任意正整数时，求以 a和 b的幂表示的二项式 a+b的 n次幂.第 10题 柯西的平均值定理 Cauchys Mean Theorem 求证 n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第 11题 伯努利幂之和的问题 Bernoullis Power Sum Problem确定指数 p为正整数时最初 n个自然数的 p次幂的和 S=1p+2p+3p+np.第 12题 欧拉数 The Euler Number 求函数 (x)=(1+1/x)x 及 (x)=(

6、1+1/x)x+1 当 x无限增大时的极限值.第 13题 牛顿指数级数 Newtons Exponential Series 将指数函数 变换成各项为 x的幂的级数. xe第 14题 麦凯特尔对数级数 Nicolaus Mercators Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数.第 15题 牛顿正弦及余弦级数 Newtons Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第 16题 正割与正切级数的安德烈推导法 Andres Derivation of the Secant and Tangent Series 在 n个数 1

7、，2，3，,n 的一个排列 c1，c2，cn 中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值 ci-1和 ci+1之间，则称 c1，c2，cn 为1，2，3，,n 的一个屈折排列. 试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第 17题 格雷戈里的反正切级数 Gregorys Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角.第 18题 德布封的针问题 Buffons Needle Problem 在台面上画出一组间距为 d的平行线，把长度为 l（小于 d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第 19题 费马-欧拉素数定理 The Fermat-Euler P

8、rime Number Theorem 每个可表示为 4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第 20题 费马方程 The Fermat Equation 求方程 x2dy2=1 的整数解，其中 d为非二次正整数.第 21题 费马-高斯不可能性定理 The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 证明两个立方数的和不可能为一立方数.第 22题 二次互反律 The Quadratic Reciprocity Law （欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数 p与 q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）（q/p）=（1）(p-1)/2(q-1)/2.第 23题

9、高斯的代数基本定理 Gauss Fundamental Theorem of Algebra 每一个 n次的方程 zn+c1zn-1+c2zn-2+cn=0具有 n个根.第 24题 斯图谟的根的个数问题 Sturms Problem of the Number of Roots 求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第 25题 阿贝尔不可能性定理 Abels Impossibility Theorem 高于四次的方程一般不可能有代数解法.第 26题 赫米特-林德曼超越性定理 The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系数 A不等于零，指数 为互不

10、相等的代数数的表达式A1e1+A2e2+A3e3+不可能等于零.第 27题 欧拉直线 Eulers Straight Line 在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第 28题 费尔巴哈圆 The Feuerbach Circle 三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第 29题 卡斯蒂朗问题 Castillons Problem 将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第 30题 马尔法蒂问题 Mal

11、fattis Problem 在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切. 伯努利幂之和的问题 Bernoullis Power Sum Problem确定指数 p为正整数时最初 n个自然数的 p次幂的和 S=1p+2p+3p+np.第 31题 蒙日问题 Monges Problem 画一个圆，使其与三已知圆正交.第 32题 阿波洛尼斯相切问题 The Tangency Problem of Apollonius. 画一个与三个已知圆相切的圆.第 33题 马索若尼圆规问题 Macheronis Compass Problem. 证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规

12、作出.第 34题 斯坦纳直尺问题 Steiners Straight-edge Problem 证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.第 35题 德里安倍立方问题 The Deliaii Cube-doubling Problem 画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第 36题 三等分一个角 Trisection of an Angle 把一个角分成三个相等的角.第 37题 正十七边形 The Regular Heptadecagon 画一正十七边形.第 38题 阿基米德 值确定法 Archimedes Determination of the

13、 Number Pi 设圆的外切和内接正 2vn边形的周长分别为 av和 bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，其中 av+1是 av、bv 的调和中项，bv+1 是 bv、av+1 的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第 39题 富斯弦切四边形问题 Fuss Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第 40题 测量附

14、题 Annex to a Survey 利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置. 伯努利幂之和的问题 Bernoullis Power Sum Problem确定指数 p为正整数时最初 n个自然数的 p次幂的和 S=1p+2p+3p+np.第 41题 阿尔哈森弹子问题 Alhazens Billiard Problem 在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第 42题 由共轭半径作椭圆 An Ellipse from Conjugate Radii 已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.第 43题 在平行四边形内作椭圆 An Ellipse in a Pa

15、rallelogram, 在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.第 44题 由四条切线作抛物线 A Parabola from Four Tangents 已知抛物线的四条切线，作抛物线.第 45题 由四点作抛物线 A Parabola from Four Points. 过四个已知点作抛物线.第 46题 由四点作双曲线 A Hyperbola from Four Points. 已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.第 47题 范施古登轨迹题 Van Schootens Locus Problem 平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三

16、个顶点的轨迹是什么？第 48题 卡丹旋轮问题 Cardans Spur Wheel Problem. 一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第 49题 牛顿椭圆问题 Newtons Ellipse Problem. 确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第 50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题 The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹. 蒙日问题 Monges Problem 画一个圆，使其与三已知圆正交.第 51题 作为包络的抛

17、物线 A Parabola as Envelope 从角的顶点，在角的一条边上连续 n次截取任意线段 e，在另一条边上连续 n次截取线段 f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，n 和 n，n1，2，1，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第 52题 星形线 The Astroid 直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.第 53题 斯坦纳的三点内摆线 Steiners Three-pointed Hypocycloid 确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第 54题 一个四边形的最接近圆的外接椭圆 The Most N

18、early Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第 55题 圆锥曲线的曲率 The Curvature of Conic Sections 确定一个圆锥曲线的曲率.第 56题 阿基米德对抛物线面积的推算 Archimedes Squaring of a Parabola 确定包含在抛物线内的面积.第 57题 推算双曲线的面积 Squaring a Hyperbola 确定双曲线被截得的部分所含的面积.第 58题 求抛物线的长 Rectification of a Parabola

19、确定抛物线弧的长度.第 59题 笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第 60题 斯坦纳的二重元素作图法 Steiners Double Element Construction 由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第 61题 帕斯卡六边形定理 Pascals Hexagon Theorem 求证内接

20、于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第 62题 布里昂匈六线形定理 Brianchons Hexagram Theorem 求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第 63题 笛沙格对合定理 Desargues Involution Theorem 一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4 和它们的六条连线交点 23，14，31，24，12，34；其

21、中 23与 14、31 与 24、12 与 34称为对边（对顶点）.第 64题 由五个元素得到的圆锥曲线 A Conic Section from Five Elements 求作一个圆锥曲线，它的五个元素点和切线是已知的.第 65题 一条圆锥曲线和一条直线 A Conic Section and a Straight Line 一条已知直线与一条具有五个已知元素点和切线的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第 66题 一条圆锥曲线和一定点 A Conic Section and a Point 已知一点及一条具有五个已知元素点和切线的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第 67题 斯坦纳的用平面

22、分割空间 Steiners Division of Space by Planes n个平面最多可将整个空间分割成多少份？第 68题 欧拉四面体问题 Eulers Tetrahedron Problem 以六条棱表示四面体的体积.第 69题 偏斜直线之间的最短距离 The Shortest Distance Between Skew Lines 计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第 70题 四面体的外接球 The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第 71题 五种正则体 The Five Regular Solids 将一个球面分成全等的球面正多边形.