1、第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理教学内容和重点：1、掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，2、了解柯西中值定理3、掌握定理的条件、结论及几何意义； 4、会用定理讨论方程的根或证明不等式等问题一、罗尔定理1、罗尔定理：设函数 同时满足以下三条：fx、 在 上连续；fx,ab、 在 内可导；、 .ff则至少存在一个 图形启发：最值点处导数为,.0.abstf0。2、简证： 1212,xa,bs.tfxM,fm.fx在 上 连 续 ， 、 m=M若 则 常 数 ，ab0;f此 时 可 取 内 任 意 一 点 ， 有、 12xababff 若 ， 则 、 至 少 有 一 点 在
2、,内 部 ， 1 11 1x x11alim0,lim0, x,ab,s.t.ff fff ff f 不 妨 设 ,是 存 在 的取 则费马引理：最值点 0f3、用处： a,bs.t0a,bff方 程 在 内 至 少 有 一 个 根 。则罗尔定理可讨论方程根的存在性（讨论方程根的存在性有两个：零点定理、罗尔定理）yo)(f区别： 0 012x0x0.ff、 条 件 ： 连 续 可 导 ； 、 结 果 ：4、例题分析例 1 不求 的导数，讨论 的根的情况；)3(2)(xxf )(f、 在 上连续；1解 ： 在 ,上 考 虑 :fx1,2、 在 内可导；、 。0fx1203x13ff由 罗 尔 定
3、 理 知 方 程 =在 ,至 少 有 一 个 根 ；同 理 ： 方 程 在 至 少 有 一 个 根 ；又 知 =在 ， 至 多 有 两 个 根 二 次 方 程 ；只 有 两 个 根 分 别 在 ， 和 内 。例 设 ，且 试证明：至少存在一点 ，使)(fC0,()0f， )1,0(得 步骤：造函数，选区间f00 0;0.: ,1:12,3 0,1.0, 0()()fxfffxfxstffff分 析 ：证 明 令 ， 在 上 考 虑、 在 上 连 续 ；、 在 上 可 导 ；、 。 则 由 罗 尔 定 理 知 ：至 少 存 在 一 点 即 ：造 函 数 ：即 选 区 间 成 立：例 设 是满足
4、的实数，试证：01na,1n0a02+方程 在 内至少有一实根。n+xx,12n01 01nfaafafa 分 析 ： =在 内 连 续 ， =, 正 负 不 详 ， 不 用 零 点 ， 用 罗 尔 定 理 ， 是 谁 的 导 数 结 果 ？2n+110000aafxx123f0证 ： 设 =， 在 ,上 考 虑 ，、 连 续 ， 、 可 导 ， 、 =， 由 罗 尔 定造 函 数 理 知 结：选 区 间 ： 论 成 立 。二、拉格朗日中值定理（解除罗尔定理中 这个苛刻条件）afb1、拉格朗日中值定理：、 在 上连续；fx,ab、 在 内可导；则，至少存在一个 fba,. .abstf2、几何
5、解释：在曲线弧 AB 上至少有一点 ，在该点处的切线平行于弦AB。3、简证：用罗尔定理，造函数，验证端点值相同。00y=fxLxfLab0baxbffa ,fxfLxfaab1ab230fba,.abstf曲 线 ,弦 ,造 -,另 ： 令 =点 斜 式 写 出 弦 轨 迹 。令 =-、 在 ,上 连 续 ； 、 在 内 可 导 ；、 。 则 即 .4、几点应注意的问题：、罗尔定理是拉格朗日定理的特例；、 fbafba,、 大 小 无 关 ；、又称有限增量定理，微分中值定理，精确表达： xfIyfxfx,d, y,01y=f dAAA设 在 可 导 +-有 限 增 量 定 理其 中 在 与 之
6、 间 =若 其 中 在 与 之 间 ，微 分 中 值 定 理 。、推论：若函数 在 内任意一点导数均为 0，则 （常数）fxXI fxC12oy)(fAB12x121212:I,ffx0=,c.证 明 、注 ： 给 出 一 个 且证 ， 由 拉 格 朗 日 定 理 ：则即 明 函 数 为 常 数 的 方 法 。、拉格朗日定理的用途可用来证明不等式。 原理： fbafba,把 换 掉 ， 得 不 等 式 。“通过 的放缩，使等式变为不等式”函数值的差与导数值关系时，用拉格朗日定理证明。5、例题分析例 1：试证： 2arcosrsinx)1(x2i 0 arcsrsc,x=0inao=x 证 明 ： 令 ， ， 得 证 。Ex: p132 4 7 8
