8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法.doc

1、1泰山学院信息科学技术学院教案数值分析 教研室 课程名称 高等数学研究 授课对象授课题目 第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法 课时数 2教学目的 通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。重点难点1 不定积分的概念2 不定积分的计算3 定积分的计算教学提纲第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法1.不定积分1.1 不定积分的概念原函数；原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。1.2 不定积分的计算(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法(4)分部积分法2.定积分(1)基本积分法； (2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(

2、3)利用函数的奇偶性化简定积分(4)一类定积分问题2教学过程与内容 教学后记第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分1 不定积分的概念原函数：若在区间 上 ，则称 是 的一个原函数. )(xfF )(xF原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是 在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 .可见，若 ，则 的全体原函数所成集合为 .原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分： 的带有任意常数项的原函数称为 的不定积分。记作dxf)(一个重要的原函数：若 在区间 上连续， ，则 是的一个)(xf Iaxadtf)(原函数。2 不定积分的计算(

3、1)裂项积分法例 1： dxxdxdx )12(122424 。Carctn3例 2： dxdxxd )sec(siosico 2222例 3： 22(1)()221artnCxx(2)第一换元积分法3有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分 cos2xd，如果凑上一个常数因子 2，使成为11cos2xdCxsin1例 4：232art1dxxx例 5： 22211xddxx2211dx 12dxx12211CCxx例 6： dtddt 2arcnarctn)(arctn.xgrtgtt 2)()()(2(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决

4、被积函数带根式的不定积分，代换方法如下：被积函数包含 ,处理方法是令 ;nbax )(1,btaxtbann被积函数包含 ,处理方法是令 ;)0(2 ttcossi或被积函数包含 ,处理方法是令 ;axxan被积函数包含 ,处理方法是令 ;)0(2 tsec例 7：计算 2axda【解】令 sin,rcsin,2xttta则 ，且2cooaxadt从而42axd=22cos.cos1cosatadttdtd=1in2intCC由图 2.1 知2sincosxaxtta所以 2d=22rinC=2arcsinxxC例 8: tdttdt 16)(16232.cxx63ln(4)分部积分法当积分

5、不好计算,但 容易计算时,使用分部积分公式: )(dgf)(dfg.常见能使用分部 积分法的 类型:)()(xfxxf(1) , , 等,方法是把 移到 d 后面,分部ennsincosxexcos,in积分的目的是降低 x 的次数(2) , , 等,方法是把 移到 d 后面,分dmnlxdmnarsidmnartn部几分的目的是化去 . ctl例 9: 222xxxeee()xdd2()xeC例 10: 2ln11llnlxx21l(l)dC5例 11: 2 3(16)arctnarctn(2)xdxdx3321xdarctx3222nlxxC例 12: =dxdx2 siicosicosc

6、s，2in解得 .in41例 13: xdxd23secsec=tgxdtgtsec xdg secsec)1( 32= ,txxt 3|sec|lnsec解得 .d3 ctgxtg|se|ln2【点评】以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例 14 设函数 的一个原函数是 求 。)(xf ,sinxdxf)(【解】 2sicosin)(xf cxxdxfxffdfx sincos)()()( 2csin2co【点评】本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法.例 15 计算 dxe23)1(arctn【说明】涉及到 的积分一般有两种处理方法.arct,si(1)

7、用分部积分法; (2)作变量替换令 txtxarcnarcsin或6【解法一】 2arctn22arctn2arctn 11)()1()1(33 xdexdedxe xxxexexx2arctn2arctn2dx23)1(1arctnarctn2【点评】:分部积分后,后面的积分计算更加困难 .为此我们考虑变量替换法.【解法二】令 yxtan,arctn Cyedydedxe )cos(in21sinsc)1(322rt3 Cxex 22arctn1【点评】变量替换后几分的难度大大降低, 是每种教材上都有的积分.dyesin2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算.(1)基本

8、积分法例 16： 计算 30221)5(xd【解】 令 ，则txan 60226023022 sin5cose)tan51(c)51( ttdtdxd8)irct()sin( 60602tt(2)分割区域处理分段函数、 绝对值函数、取整函数、最大 值最小值函数例 17： 计算 dx3027【解】 38)2()2(3030 dxdxdx例 18 计算 301,ma【解】 =dx10, 54)(1220dx(3)利用函数的奇偶性化简定 积分 aa xfdxfdxf0)()()( 是 偶 函 数当 是 奇 函 数当例 19 计算 x12)(【解】 = =2+0=2d12 dxx121例 20 计算

9、ex1)(【解】 =dx1 x1dxe111042eex例 21 计算 dx4sin【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。【解】 dxedxedxexxx 04240242 1sin1sin1sin令 ，ydyeydedxe yyx 402042042 1sin)(1sin1sinyx020ii8所以 18sin1sin1sin1sin 40204240242 xddexdxedxexx(4)一类定积分问题例 22： 已知 是连续函数， ，求)(xf 102)(3)(dxfxf )(f【分析】本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数。【解】令 ，10,)(则Adxf Axf23)(10102 311)3()(dfA所 以)(2xf