MATHEMATICA实习二导数.doc

1、1MATHEMATICA 实习二导数实习目的1 进一步理解导数与微分的概念。2 学习 Mathematica 的求导命令和求导法则，掌握求导数、偏导数和高阶导数的方法3 深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法。实习准备1.求导命令 D 与求微分命令 Dt.Df,x给出 f 关于 x 的导数，而将表达式中 f 中的其他变量看作常量。因此，如果 f 是多元函数，则给出 f 关于 x 的偏导数。Df,x,n给出 f 关于 x 的 n 阶导数或者偏导数。Df,x,y,z给出 f 关于 x,y,z的混合偏导数。Dtf,x给出 f 关于 x 的全导数，将表达式 f 中的其他变

2、量都看作 x 的函数。Dtf给出 f 的微分。如果 f 是多元函数，则给出 f 的全微分。即使表达式是抽象函数，上述命令也可以给出相应正确的结果，当然是一些抽象符号。命令 D 的选项 NonConstants-指出内的字母是 x 的函数。命令 Dt 的选项 Constants-指出内的字母是常数。2解方程或方程组的命令 Solve解方程命令的格式为Solvefx=0,x解方程组命令的格式为Solvefx,y=0,gx,y=0,x,y执行命令后给出方程或方程组关于指定变量的解。方程中的等号要用双等号“=” 。如果是方程组，要用大括号将所有的方程括起来，各方程之间用逗号隔开。3.循环语句 Do循环

3、语句 Do 的基本形式为Do表达式，循环变量的范围表达式中一般有循环变量，有多种方法说明循环变量的取值范围。最完整的形式为Do表达式， 循环变量名，最小值，最大值，增量当省略增量时，默认增量为 1。省略最小值时，默认最小值为 1。例如输入DoPrintSinn*x,n,1,10则在屏幕上显示SinxSin2 xSin3 xSin4 xSin5 xSin6 xSin7 x2Sin8 xSin9 xSin10 x实习内容与步骤1. 求函数 的一阶导数。nxy输入Dxn,x在不指明的情况下求导数的过程中，已经将 n 看作了常数。输出为nx1n2求函数 f(x)=sin axcos bx 的一阶导数。

4、并求 )1(baf输入diffx_=DSina*x*Cosb*x,x则得到 f(x)的一阶导数再输入diff1/(a+b)则得到 f 在点 的导数bax1aCosaa bCosba b bSinaa bSinba b如果输入DSina*x*Cosb*x,x/.x-1/(a+b)则直接得到函数在该点的导数。3假设 ，求 。2cosyxz2,xzyzx输入Clearx,y,zz=CosSqrtx2+y2;zx=Dz,xzy=Dz,yzxy=Dz,x,yzxx=Dz,x,2输出为 xSinx2 y2x2 y2 ySinx2 y2x2 y2 xyCosx2 y2x2 y2 xySinx2 y2x2 y

5、2323 x2Cosx2 y2x2 y2 x2Sinx2 y2x2 y232 Sinx2 y2x2 y24 求函数 的一阶到十一阶导数。910)(输入：Clearf;fx_=x10+2(x-10)9;Dfx,x,2则得到函数的二阶导数14410 x7 90x8类似的可以求 3 阶，4 阶导数等等，为了将 1 阶到 11 阶导数一次性都求出来，输入DoPrintDfx,x,n,n,1,11输出为：14410 x7 90x81810 x8 10x914410 x7 90x8100810 x6 720x7604810 x5 5040x63024010 x4 30240x512096010 x3 15

6、1200x436288010 x2 604800x372576010 x 1814400x2725760+3628800 x362880005 求函数 f(x)=sin axcos bx 的微分。输入：DtSina*x*Cosb*x,Constants-a,b/Simplify其中选项 Constants-a,b指出 a,b 是常数，Simplify 后缀函数是将前面的结果进行化简。输出为：Dtx,Constantsa,b (a Cosa x Cosb x-b Sina x Sinb x输出中的 Dtx,Constantsa,b就是自变量的微分 dx。如果输入：DtSina*x*Cosb*x则

7、实际上是将 a,b 看成变量，得到的是三元函数的全微分：Cosa x Cosb x (x Dta+a Dtx)+(-x Dtb-b Dtx) Sina x Sinb x6 设 ，求 和全微分 dz。yxz)1(z,输入：Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y4则有输出：y21 xy1y1 xyyxy1 xy Log1 xy再输入：Dtz则得到输出：1 xyyyyDtx xDty1 xy DtyLog1 xy其中 Dtx和 Dty分别表示 dx 和 dy.7 方程 确定的隐函数的导数 。022 dx输入：D2x2-2x*yx+y2+x+2y+10,x这里输入 yx以表示 y 是 x

8、 的函数。输出为对原方程两边求导数后的方程：1 4x 2yx 2xy x 0再解方程，输入：Solve%,y x可以得到结果y x 1 4x 2_y2yx2x_y2 另外一种方法是使用微分命令。输入：Dt2x2-2x*y+y2+x+2y+1=0,x得到导数满足的方程，输出为：1+4 x-2 y+2 Dty,x-2 x Dty,x+2 y Dty,x0再解方程，输入：Solve%,Dty,x输出结果：Dty,x 1 4x 2y2 1 x y注 前一种方法用的是 y x表示的导数，而后一种方法用的是 Dty,x表示的导数。两种方法也说明了命令 D 和 Dt 的区别， D 求导默认其他的变量相对于求

9、导的变量都是常量，如果不是需要将其他变量改造为要求导的变量的函数，而 Dt 默认命令中出现的一切字母都是变量。如果是求二阶导数那么用第一种方法，如下输入：eq1 D2x2 2x yx yx2 x 2yx 1 0,x输出：1 4x 2yx 2y x 2xy x 2yxy x 05表明对原来方程两边求一阶导数输入：eq2 D2x2 2x yx yx2 x 2yx 1 0,x,2输出：4 4y x 2y x2 2y x 2xy x 2yxy x 0对原来的方程两端求了二阶导数输入：Solveeq1,eq2,y x,y xSimplify输出：y x 13 4x 8x2 8 1 xyx 4yx24 1

10、 x yx3 ,y x 1 4x 2yx2 2x 2yx解上述两个方程，得到 y 对 x 的一二阶导数。8.假设方程 确定了函数 z=z(x,y)，求 。0z yzx,本题当然也可以采用上题的两种方法（直接求导法，微分法） ，当然求一阶导数（偏导数）也可以采用隐函数求导法（根据隐函数存在定理） 。输入：Clearx,y,zf=x+2y+z-2Sqrtx*y*zfx=Df,x;fy=Df,y;fz=Df,z;zx=-fx/fzzy=-fy/fz输出为：x 2y z 2xyz1 yzxyz1 xyxyz2 xzxyz1 xyxyz9.验证拉哥朗日中值定理对函数 在区间1，2上成立。即满足存在4)(

11、xf使 .)2,1(/1)2(ff6输入：Clearf;fx_:=1/x4;SolveDfx,x=f2-f1,x/N输出中有 5 个解：x 1.08137 0.785663,x 1.33665,x 0.413048 1.27123,x 0.413048 1.27123,x 1.08137 0.785663其中实数解就是满足拉格朗日中值定理的 ，约为 1.33665。10.求由参数方程 确定的函数的导数 。teyxtsincodxy输入：Clearx,y,t;g=DExpt*Sint,t/DExpt*Cost,t则输出 y 对 x 的一阶导数：tCost tSinttCost tSint再输入：

12、Dg,t/DExpt*Cost,t/Simplify则得到 y 对 x 的二阶导数2 tCost Sint311设 ，求 。vueycosyvxu,输入：rq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v对方程组的第一个方程两边对 x 求导数，把 u,v 看成 x,y 的函数输出：1 uDu,x,NonConstantsu,vuCosvDv,x,NonConstantsu,vDu,x,NonConstantsu,vSinv输入：rq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v对方程组的第二个方程两边对 x 求导数，把 u,v 看成 x,y 的函数输入：

13、Solverq1,rq2,Du,x,NonConstantsu,v,Dv,x,NonConstantsu,v/Simplify把 u,v 对 x 的偏导数当作未知量，解求导以后由 rq1,rq2 组成的方程组。得到输出：7Du,x,NonConstantsu,v Sinv1 uCosv uSinv,Dv,x,NonConstantsu,vu Cosv u uuCosv uuSinv其中 Du,x,NonConstantsu,v表示 u 对 x 的偏导数，Dv,x,NonConstants u,v表示 v对 x 的偏导数。类似的可以求得 u,v 对 y 的偏导数（留作练习）实习作业1 验证罗尔定

14、理对函数 在区间 上的正确性。xysinl65,2 求下列函数的导数与微分（1） 21xy（2） )(cos2（3） xxeeyartnarin3 求下列函数的高阶导数（1） ,求cst)4(y（2） ，求xy2in)50(4 求下列方程（组）所确定的函数的导数和二阶导数 。2,dxy（1） 22ayx（2） )sin(co（3） 2316tytx（4） )cos(intax5 求下列函数的偏导数。（1） 。， 求 yxzzxyxz 22,)(s)sin(（2） ，求 。2323sincoico2386 设 z=f(x,y)由方程 所确定，求 。02zxyexz7 已知 ，求 。10vyuxyvxu,