不定积分,二元函数的定义域,极限,方向导数和梯度.doc

1、不定积分、二元函数的定义域、极限、方向导数和梯度一、定积分及应用了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性， bababa xgxfxgf d)()(d)( 为常数 )ccbcaba xfxfxf)()(还应熟悉以下性质 ffbab()()ddx0例题：1利用定积分的几何意义，说明下列等式： 0 032.xdsin)(;xd)(解答：（1） 表示的是：由 轴，直线 和直线 所围成的三角形的面积是 1。y1xy2（2） 表示的是：由 轴，曲线 和直线 所围成的图形上下的面积相等。xsin2根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的

2、值较大： ?dxx)(213211010还 是还 是解答：（1）因为在区因为在区间0，1 上， ，因此有：32x?103102dxx（2）在区间1，2上， ，因此有：32x21d213了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。若 ，则(x)atfGd)()(xfxG熟练掌握牛顿莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。例题：估计积分 的值：412.)(dx解答： ，因此babaxdx|)3()1(2 (3)3a412.242.计算 . 解答：了解广义积分的概念；会判断简单的广义积分的收敛性，并会求值。当 时收敛，当 时发散；apxd11p当 时收敛，当 时发散。10掌握在直角坐标系下计算平面曲线

3、围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。由曲线 和 及直线 围成的面积 ，有)(xfy)(gbxa,SbgfSd)(对于对称区间 (,)a上的定积分，要知道当 fx()为奇函数时有 fxa()d0当 为偶函数时有 fxfxaa()()dd 2200例题： 1.计算正弦曲线 y = sinx 在0, 上与 x 轴所围成的平面图形的面积.解答： .2计算对弧长的曲线积分 其中 L 是抛物线 上的点（0，0）与点,Ldsy2xy之间的一段弧.),(4解答： 61341841220220 xdxdsyL. )(,.3面 积及 横 轴 所 围 成 的 图 形 的 、两 直

4、线抛 物 线利 用 定 积 分 定 义 计 算 由 abay解答： babaxdx|)3()1(2 (3)3a练习：求椭圆 所围成的图形面积.1492y答案： 。66.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分例题：计算二重积分：(1) 其中 D 是由直线 、 所围成的闭区域；,Dxyd0yx、 1yx(2) 其中 D 是由圆周 所围成的闭区域.2e2解答：（1） ,241101032dxxydxydD（2） ,)(1022ereyx二、二元函数的定义域要求：会求二元函数的定义域例题：1求下列各函数的定义域： ).0(1)2( ;1)ln2222 rRzyxzyxRuz解答：（1）要使函数有

5、意义必须满足：，这样函数的定义域为： 02yx .1,0|),(2yxy（2）要使函数有意义必须满足： 即,22zxR,022rz|),(22zyxrzyx练习：求函数 的定义域。1答案： 0,|),(yx2 ).,(,tan),(2tyxfyxyxf 试 求已 知 函 数 解答：将 分别代替原函数自变量 的位置，通过计算我们得到：原式=t, , ),(2yxft3 ).,(),( xyxfuvfv试 求已 知 函 数 解答：将 分别代替原函数自变量 的位置，通过计算我们得到：xyxwvu原式= y2)(练习：设 =？),(,sin,2tyxfyxxf 则答案： 。)(2yt三二元函数的极限从

6、形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。 是指，对于任Axf0lim意给定的正数 ，总存在正数 ，当 时，恒有0x是指，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，当APfAxf 0lim. 时，恒有 。但是在二元函数的极限中 要比一元函数极0P0P限中 复杂的多，对 ，x 趋向 的方式虽然是任意的，但它毕竟是在 x 轴上x00变化而已，可是对 ，P 趋向 的任意方式却是在平面上变化，因此 要比0多样化。0x例如：沿着所有过 的直线趋向 是 的一种特殊方式，又例如沿着所有过000P的抛物线趋向 也只是 的一种特殊方式，还有其他的 的方式，这就一0PP0P元函数与二元函数的极限的重要区别。例题：

7、1.求极限： ;)(lim)12xyeyx;)sin(lm)2(0yxx解答：（1）原式= 31e（2）此题与上题不一样，因为当 时，分母趋于零，所以我们需要先对 y 求导，0y即 。2)cos(lim)sin(l0202 xyyxyx练习： ;1li)(20yx;lni)(201yxey;4lim)3(0xyyx;li)4(0yx .)(cosli)5220yxyxe答案：（1）1；（2）ln2；（ 3） （4） （5）先对 x, 后对 y 求导，然后可算出：分别为2，,4四、方向导数和梯度定理：若函数 在点 可微，则 在点 处沿任意方向 的方向导数都存在，f00,zyxPf0Pl且 0fx

8、cos+ + ，0fl 0fycos0fzcos其中 cos， ， 为方向余弦。对于二元函数 来说，相应的结果是yxf,cos+ ，0Pfl 0x0,yxfcos其中 是平面向量 的方向角。,l梯度的定义：若函数 在点 存在对所有自变量的偏导数，则称向量f00,zyxP（ 0Pfx， ， ）为函数 在点 的梯度，记作：0fyzf0P（ 0fx， ， ）grad0yz向量 的长度（或模）为f202020PffPfgradzyx例题：1求函数 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 的方向的方向导数.yz )32,(解答：方向 = = ，易见 在点 （1，2）可微，故由 0Pfx，l3,z0 2， 及方向 的方向余弦： cos，0Pfy4l 2132cos23所以函数 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 的方向的方向导数为yxz ),(（ ）= =l0P342问函数 在点 （1，1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导zxyf20P数的最大值.解答：因为 在点 的梯度方向是 的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是f0f梯度的模，又 x， ， ，所以 是方向20fy40Pfz1kjigradf42导数取最大的方向，此方向导数的最大值是 。2|grad练习：函数 在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数2yxz?l解答： 5