1、不定积分与定积分 复习提纲主要知识点：不定积分和定积分1. 不定积分相关概念2. 不定积分的计算3. 定积分的相关概念4. 定积分的计算及其应用一、 不定积分相关概念1. 原函数导函数：函数 ，则称 为函数 的导函数。yfxfxfx原函数：函数 ，则称 为函数 的原函数。说明：函数 若存在原函数 ，则一定有无数个原函数 ，fFFxC并且任意原函数之间相差一个常数 。C例：函数 为 的一个原函数。xe3例：若函数 的一个原函数为 ,则 = fxlnf2. 不定积分的定义：所有原函数集合 ()fdFC例： 2xd例： 13. 不定积分的性质： ()()d()d()dfxgxfxgx 为常数,4.
2、不定积分和导数之间的关系：先积后导（微） ，作用抵消fxdFxCfxd先导（微）后积，作用抵消xdfxFfdFxC 例： ； = .xdarcsincos； ；ri xdin二、 不定积分的计算1. 直接使用积分公式计算例： dxex12 dxsinco2dxex23ex1cosin2. 凑微分法（第一类换元法）基础:常见的凑微分形式（1） （2）Cxd Ckxd1（3） （4）21 32（5） （6）xdx2 xdx1（7） （8）Cln1 Cex（9） （10）xdxcossi dsinco（11） （12）ta2 xxarct12例： 例： 例： 例：dx91dxe23 dxe21x2例
3、： 例： 例：dxln1dxex21 xdsinco2例： 例： si2cocosin2例： 例：3xd 1xde3. 第二类换元法（含 ）nbax例: 例： 例：dx1dx-1dx1例: 例: 例:xxln x2例: 例: 例:dx31 dx13x4. 分部积分法： “欺软怕硬 ”vduudvdxexe- xcosxdsinlnlnartnarct思考： dxedxdxcos三、 定积分1. 定积分的定义： 01limnb iiafxdIfx注：定积分是一个数，它的大小只与 有关。baxf,2. 不定积分与定积分的区别与联系区别：求不定积分即求原函数；求定积分即求极限联系： aFbxdfab
4、a |思考题：1. 请画出曲边梯形的图形，并且结合割圆术思想，简要阐述曲边梯形的面积求解步骤。2. =21arctnxd3. 定积分的几何意义：面积典型考题： ， ， ，120xd2204xd3209xd， ， 13sinxd15sin13结论： （ 为奇函数）0-faxf常见考题： 12sincosd4. 定积分的计算： aFbxfaba |先利用求不定积分的方法求出 ，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解 Fbxdfaba |四、 定积分的应用：面积、体积、做功、曲线长度1. 利用定积分求围成图形的面积例：求由函数 所围成的图形的面积。22,yx例：求由函数 所围成图形的面积。例：求由函数 所围成
5、图形的面积。xy,2例：求由函数 直线 及 围成图形的面积。1,yxy2x例：求由函数 直线 及 围成图形的面积。lne例：求由函数 直线 围成图形的面积。,xxye12. 求旋转体的体积例 连接坐标原点 O 及点 的直线，直线 及 轴围成一个直角三(,)Phrxh角形，将它绕 轴旋转构成一个底半径为 ，高为 h 的圆锥体，求体积xr例：求由抛物线 ， 和 轴围成的图形绕着 轴旋转一周所形成2y1x的旋转体的体积。例：求由曲线 及 所围成的图形绕直线 旋转构成旋转体240y3x的体积。积分小测验1. dxsinco22. 3. dx14. ex5. dln6. x2017. 51d8. dxe409. 41sinx10. 求由函数 直线 围成图形的面积。,xxye1
