不定积分复习.doc

1、高数复习（资料一）不定积分公式及其应用1Ch4、不定积分例 1、 求下列函数的不定积分 Ckxd 1ln1x1、 不定积分的性质 dxgxfdxgf )()()( 0kk例 2、 求下列不定积分 Cxxdx11)2()2(2 x 2)(1)2(1 Cxdxarctn3rsi531522 exdexe xxx l21l1 Cxdd csotctscscotsc2 xxx tansesinsin 2222 Cddcot1ccot Cxxdxxx arctn311 2224242、不定积分的换元法、 第一类换元法（凑微分法）1、 baxdbaxdfadxbf 1,1即例 1、求不定积分 Cu)5co

2、s(sin55sin5sin2 CxCxxddx 81777 2621)2(121 )0(arctn2 Ca )23(rsi122 xxdx2、 nnnn dff 11,即例 2、求不定积分 CxCxxdx 2312212122 Ceeexxx 3332 xdxdd 11sin1cos1cos 22 Cxxxi23、 ,tansec,incos,sin,ln1 2xdxdddedxxx ,ar1,art1,sctasec22 2xadxx例 3、 求不定积分 )16(seclncoslncscosinta Cxxxx 7iii Cdd )8(tansecltansectansecse xxx

3、19oooc Cdx Cxdllln1 x1tanl1tantcos2 Ceedxexxl113 Cexeedxxx1ln1 dxxxarct22 Cedee xxx 212112例 4、求不定积分 axdxadxaaxd )()(222 )2(1ln1C dxdxxdx 222 133Cxxx arctn3ln1222 415156524 222 dddxCxxarctn3ln1 Cxddxd 2sin42os122cossin2 xxco186si8i35 xxx silsinlilnilnscsinlcot Cxddd cotacose1222 4s14insico xx Cx4cotc

4、sl21、 第二类换元法1、三角代换例 1、 dxa2解：令 ，则)cos(sintt或4tdaxtxacos,cs2原式= tddtat 2cos121o2 CaxaxCtat 222 4rcsinsin4x221rci1例 2、 Caxadxarcsin22解：令 tsin原式= xtdrcsico例 3、 2xad解：令 ，则)cot(tn或 tdaxtxa22sec,sec原式= CaxCttdta2 lnlnses )24(ln2Cx例 4、 42d解：令 ，则)cot(tanx或 tdxtx22sec,sec4原式= CaxCttdt2 lnalnses例 5、 2axd解：令 ，

5、则)cs(sett或tdadxxne,n2原式= caxCttta 2lnasclssec )5(ln2Cx例 6、 d925解：令 ，则taxsec tddxtxansec3,an92原式= Cttdt 13n322xxCx arcos39arcos922小结： 中含有 可考虑用代换)(xf22axtaxtsecni2、无理代换例 7、 31xd解：令 dtxtt 23,则原式= Cttttttd 1ln2311322Cxxx3332ln例 8、 31d解：令 dtxttx566,则原式= Cttdtttd arcn616122235Cxx66arcn例 9、 d1解：令 221,1, td

6、xtxt则原式= Cttdtttdt 1ln212222 Cxx1ln6例 10、 xed1解：令 12,ln,2tdxtt则原式 CeCttdt x1lnln1222、 倒代换例 11、 46xd解：令 2676,41,1tdxtt 则原式 CxCttdt 4ln214ln1241 6666Cxlnl3、分部积分法分部积分公式： VUVU,，故dxdx VdU（前后相乘） （前后交换）例 1、 xcosCxxddcosinsiini例 2、 xeexx例 3、 xdln Cxdxdln1lnll或解：令 te,原式 Ctttt l例 4、 xdarcsin7 Cxxdx d221arcsin

7、1arcsiniarcsii或解：令 tti,i原式 Cxxtdtd 21arcsincosinsns例 5、 xei xdexedxxx sincosincocssin故 Cedein21例 6、 xcos xxdx seclntattatn例 7、 x21l Cxx dxxxd 22 2221ln 1ln4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。011)( bxxbaaxQPRmmnn例 1、将 化为部分分式，并计算6532x d6532解： 232 xBAxBAx6531BA故 Cxxxddxx )3ln(6)2l(53252或解： 16161 2

8、2 dI8dxxx2132165ln21Clnl例 2、 dxxdxxd 222 )1()()1()1( Cln)(2例 3、 xxdxdx 21arctn2111242例 4、 dxdxdxxd 22422 1111 Cxxxxd 21ln2arctn212122Clnarct2二、三角函数有理式的积分对三角函数有理式积分 ，令 ， dxRIcos,in uxuarctn2,tan则，故 ，三角函数有理式积udxuxux 222 1,1cos,1sin dRI 221,1分即变成了有理函数积分。例 5、 xdcos3解：令 ，uuarctn2,tan则 duxux221,1os原式 CxCd

9、u 2tanl4ln415322例 6、 cosin2xd9解：令 ， uxuarctn2,tan则 duxuxux 222 1,1cos,1si 原式 3512222 duCxCuud 512arctn3t513arctn53932例 7、 dxcos1indudu)1(212uuu222)(CxCsinlcot1ln13、 基本积分表（共 24 个基本积分公式） 22222222 2222 217. ln8. arcsin19. l()0. lndxxcaaxxd cxa xacaxdx 1.2. (1)13.ln4. (0,1)o12.sexxxxcxxdcadcaexdxxdxcxdx 2222ta3.cco114. artn(0)5. l ()16. arcsin(0)xdxcaadxxcaax