二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论.doc

1、 编号：Xxxxxxxx 学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院 系：数学科学系姓 名：XXXX学 号：XXX专 业：XXXX年 级：2008 级指导教师：XXX职 称：讲师完成日期：2012 年 5 月I摘 要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续

2、性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微IIAbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure

3、out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduce

4、s binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples

5、 to demonstrate support.Key words： Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目 录摘 要 IABSTRACT II引 言 11 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义 21.1 二元函数的连续性 21.2 二元函数的可微性 21.3 二元函数的偏导数 22 二元函数三个概念的结论总结及证明 42.1 二元函数连续性的结论总结及证明 42.2 二元函数可微性的结论总结及证明 52.3 二元函数偏导数存在性的结论总结 103 二元函数三个概念之间关系的总结 103.1 二元函

6、数连续性与偏导数存在性的关系及例证 103.1.1 二元函数连续 ,但偏导不一定存在的举例证明 103.1.2 二元函数偏导存在 ,但不一定连续的举例证明 113.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 123.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明 123.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明 134 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图 19结 束 语 20参考文献 21致 谢 22引 言二 元 函 数 微 分 学 是 一 元 函 数 微 分 学 的 推 广 ,因 此 它 保 留 了 一 元 函 数 微 分学 的 许 多 性 质 .但 由 于 自 变 量 由 一 个 增 加

7、到 两 个 ,从 而 产 生 了 某 些 本 质 上 的新 的 内 容 .如 一 元 函 数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 可 导 ,则 它 在 这 点 可 微 ,反 之 亦然 .但 在 二 元 函 数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 偏 导 数 存 在 ,推 不 出 它 在 这 点 可 微 .又 如 ,一 元 函 数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 可 导 ,则 它 在 这 点 必 连 续 .但 在 二 元 函数 微 分 学 中 ,函 数 在 某 点 的 偏 导 数 都 存 在 ,却 推 不 出 它 在 这 点 连 续 .同 时 二 元函 数 微 分 学 是 高 等 数

8、学 教 学 中 的 一 个 重 难 点 ,它 涉 及 的 内 容 实 际 上 是 微 积 分学 内 容 在 二 元 函 数 中 的 体 现 ,其 中 有 关 二 元 函 数 的 连 续 性 、 偏 导 数 存 在 性 及可 微 性 之 间 的 关 系 是 学 生 在 学 习 中 容 易 发 生 概 念 模 糊 和 难 以 把 握 的 一 个 重 要知 识 点 .当 前 ,二 元 函 数 的 连 续 性 、 偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性 之 间 的 关 系 研 究 方 面已 经 取 得 了 一 定 的 成 果 ,但 是 ,在 国 内 的 许 多 教 材 中 只 是 对 它 们 三 者

9、的 定 义 作了 说 明 ,而 对 它 们 之 间 的 关 系 很 少 提 及 或 没 有 提 到 ,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在 一 些 学 术 性 论 文 中 也 只 是 对 二 元 函 数 的 连 续 性 、偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性 的 个 别 关 系 做 了 具 体 的 说 明 ,因 此 在 让 学 生 学 习 这 方面 的 知 识 时 能 达 到 对 这 方 面 知 识 可 以 做 到 全 面 的 掌 握 让 是 当 前 教 学 中 的 一 大难 题 .本 文 具 体 就 二 元 函 数 的 连 续 性 、 偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性

10、之 间 的 关 系 通 过实 例 作 深 入 的 探 讨 ,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然 后 总 结 有 关 二 元 函 数 微 分 学 中 这 关 于 二 元 函 数 连 续 性 、偏 导 数 存 在 性 及 可 微 性 这 三 个 概 念 之 间 的 关 系 ,并 对 二 元 函 数 具 体 的 实 例 详细 加 以 证 明 ,建 立 他 们 之 间 的 关 系 图 .这 样 对 有 效 理 解 和 掌 握 多 元 函 数 微 积分 学 知 识 将 起 到 重 要 作 用 .1

11、二元函数的连续、偏导数及可微性概念二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数 在点 的情形,它们分别为：yxf,)(0y1.1 二元函数的连续性定义 1 设 为定义在点集 上的二元函数, (它或者是 的聚点,或f 2DR0PD者是 的孤立点).对于任给的正数 ,总存在相应的正数 ,只要D,就有0(;)PU0(),fP则称 关于集合 在点 连续,在不致误解的情况下 ,也称 在点 连续.f0 f0P若 在 上任何点都关于集合 连续,则称 为 上的连续函数.Df由上述定义知道：若 是 的孤立点,则 必定是 关于 的连续点；若00fD是 的聚点 ,则 关于

12、在 连续等价于0PDfP00limPffD1.2 二元函数的可微性与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.定义 2 设函数 在点 的某邻域 内有定义,对于yxfz,0,yxP0PU中的点 ,若函数 在点 处的全增量 可表示0PUyx00, f0z为: , BAffz,0其中 , 是仅与点 有关的常数, , 是较 高阶的无AB0P2yx穷小量,则称函数 在点 处可微,并称上式中关于 , 的线性函数f为函数 在点 的全微分,记作xy0.yBxAyxdfzP),(|00由上可知 是 的线性主部,特别当 , 充分小时,全微分 可作为dzdz

13、全增量 的近似值,即 )()(, 000yxyxff 在使用上,有时也把 写成如BAfz,0下形式 ,这里yxyBxAz0limli,0, yxyx1.3 二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若 在点 可微,则函数增量f0,xAxxf 0其中 .同样,若二元函数 在点 可微,则 在 处的0xfAf)(0yf),(0y全增量可由 表示.现在讨论Byz00,其中 、 的值与函数 的关系.为此,在式子 中令Bf yxyxAz,这时得到 关于 的偏增量 ,且有 或者)0(xyzxxxAzx现让 ,由上式得 的一个极限表示式0A,xyffxz0000,limli容易看出,上式右边的极限正是关于 的一元

14、函数 在 处的导数.0,f0x类似地,令 ,)0(yx由 又得到yxBAz,它是关于 的一元函数 在xffyBx 0000,limli yyxf,0处的导数.综上所述,可知函数 在点 处对 的偏导数,实际上就是把yxfz,),(0yx固定在 看成常数后 ,一元函数 在点 处的导数,同样,把 固定y0 f x在 ,让 有增量 ,如果极限存在,那么此极限称为函数 在xyyfz,点处对 的偏导数 .记作 .)(0 0,yxf因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下：定义 3 设函数 , .若 ,且 在 的某一yxfz()D0(,)xy0,yxf邻域内有定义,

15、则当极限 存在时,ffxx 0000limli称这个极限为函数 在点 关于 的偏导数,记作 或f0,y 0,yxf),(0|yxf注意 1 这里符号 , 专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号 相x d仿,但又有差别.注意 2 在上述定义中, 在点 存在关于 （或 ）的偏导数, 至少f0,yxyf在 （或 ）上必须有定义.0|),(xyx0,|)(x若函数 在区域 上每一点 都存在对 （或对 ）的偏导数,fz,D则得到函数 在区域 上对 （或对 ）的偏导数（也简称偏导数）,y记作 或 （ 或 ）,也可简单地写作 , 或 （yxf,f),(yxf,f)( xfzf, 或 ）.yfzf2 二元函数

16、三个概念的进一步研究2.1 二元函数连续性的进一步研究一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数 来说,即使它在某点 既存在关于 的偏导数yxf 0,yxPx,又存在关于 的偏导数 , 也未必在点 连续.0yxf 0fyf0,yP不过,我们却有如下定理：定理 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若xfz,0,yx0U作为 的一元函数在点 = 连续, 在 内有界,则 在yxf,0 y0f yxf点 连续.P证明 任取 , 则x00,0PU0,yxfyxf(1)00000, ,fxy f由于 在 存在 ,故对于取定的 , 作为 的一Pyx元函数在以 和 + 为

17、端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉0x格朗日中值定理,存在 (0 ,1) ,使xyxfyxfyf x00000 , 将它代入(1) 式, 得 000,ff(2)0,xyxyfxy由于 ,故 有界,因而当yx00,0PUf0,时, 有,y.00(,)fxyx又据定理的条件知, 在 = 连续,故当 时, 又有, 0,y.00()(,)ff所以, 由(2) 知, 有.000lim(,)(,)xyfxyfxy这说明 在点 连续.f,0,P推论 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若yxfz0,yxP0PU作为 的一元函数在点 连续, 在点 连续,则yxf,0 0f0,yx在点 连续.0,

18、yx证明 由于 在点 连续,故 必在点 的某邻域f0yxfx,0,内有界,因而据定理1 , 在点 连续.f,0P推论 2 设函数 在点 的某邻域 内有定义. 若z,y0PU在 有界, 存在,则 在点 连续.yxf,0PU0yxfxf,yx证明 由于 存在 ,故 作为 的一元函数在点 = 连续,从0,y ,0 0而据定理1可得 , 在点 连续.f0P推论 3 设函数 在点 的某邻域 内有定义,若yxfz,0,yx0P在点 连续 , 存在,则 在点 连续.yxf,0,yxP0fyx证明 由于 在点 连续,故 必在点 的某邻域f x,0,内有界. 又由于 存在,故 作为 的一元函数在点 连续,因0y

19、yf0 而据定理1可得出 , 在点 连续.xf,xP同理可证如下的定理2及其推论.定理 2 设函数 在点 的某邻域 有定义, 在yfz,0,y0PUyxf,内有界, 作为 的一元函数在点 = 连续,则 在0PU0,yxf x0yxf,连续.yx推论 1 设函数 在点 的某邻域内 有定义, yfz,0,yP0PU在点 连续, 作为 的一元函数在点 连续,则fy,0yx0xx在点 连续.xP推论 2 设函数 在点 的某邻域内 有定义,yfz,0,y0在 内有界, 存在,则 在点 连续.yf,0U0xfxf0,xP推论 3 设函数 在点 的某邻域 有定义, ,0,PUyxf,在点 连续, 存在,则

20、在点 连续.0xP0yfxyf0y2.2 二元函数可微性的进一步研究众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.定理 3 函数 在点 可微的充分必要条件是 在点(,)fxy0(,)Pxy(,)fxy的俩个偏导数都存在,且对 , ,当0()Pxy.000(,)(,)(,)()ffff00()x证明 必要性 已知函数 在点 可微,故 与 存在,xyxy,fy(yfx且,00000(,)(,)(,)(,)()xyzffffx其中 .xy即 000(,)(,)(,)(,)fxfyfxfy00000(,)(,)(,)(,)(yyffffx于是,当 时,有x000()(,)(,)(,)fxffxyf000 0(,)(,)(,)xfffyxx000 0(,)(,)(,) ()yffyfx