1、 函数的概念知识梳理：1、 函数的概念：1、 函数的传统定义：设在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 的值，相应地就确定唯一的一个 y 值，那么我们就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。他们描述的是变量之间的依赖关系。2、 函数的近代定义：一般地，设 A，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y=f（x） ，xA。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值对应的
2、y 值叫做函数值，函数值的集合f（x）xA叫做函数的值域。注：、A,B 都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在。、集合 A 是函数的定义域，而集合 B 不一定是函数的值域。、符号 y=f（x）表示“x 对应的函数值” ，f 表示对应关系。f（x）是一个整体，不可分开，不能理解为 f*x。、f（a） ，aA 与 f（x）的区别和联系。练习：判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数。1、 A=R，B=xx0 ，f：xy=|x|；2、 A=Z，B=Z，f：xy=x ；23、 A=Z，B=Z，f：xy= ；x4、 A=x-1x1 ，B=0 ，f：xy=0.2、 函数的构成要素：有函数的
3、定义可知：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。注：、检验给定的两个变量之间是否具有函数关系的方法：定义域和对应关系是否给出；根据给出的对应关系，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值 y 和它对应。2 判断两个函数是否是同一函数的方法：定义域和对应关系都分别相同。练习：判断下列各组函数是否表示同一函数：1、 f（x）=2x+1 与 g（x）= ；142x2、 f（x）= 与 g(x)=x-1;23、 f（x）=|x-1|与 g（x）= ;1,x4、 f（x）=x 与 f（t）=（ ） 。3t3、 函数的定义域：函数的定义域是自变量 x 的取值范围，有时候函数的定义域
4、可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使函数有意义的所有实数 x 构成的集合。求函数定义域的一般方法：1、 如果 f（x）是整式，其定义域是实数集 R；2、 如果 f（x）是分式，其定义域是使分母不为 0 的实数集合；3、 如果 f（x）是二次根式（偶次根式） ，其定义域是使根号内的式子不小于 0 的实数集合；4、 如果 f（x）是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；5、 f（x）=x 的定义域是xRx0 。0注：实际问题，除考虑解析式本身的意义外，还应使实际问题有意义。练习：求下列函数的定义域：、f（x）= + ； 、f（x）= ；1x2 37
5、12| xx3、 f（x）= 。x|)(04、 函数的值域：求函数值域的方法：1、 观察法：通过简单变形和观察。如：y= ；21x2、 配方法：二次函数类型；3、 判别法：化为自变量的二次方程形式，利用判别式求函数的值域，常见“分式”函数、 “无理”函数等。注意自变量的取值范围。4、 换元法：将复杂的函数化为几个简单的函数。如：函数 y=axb （a，b，c，d 均为常数，xac0）的值域。5、 分离常数法：如：函数 y= （a0） 。baxdc练习：、已知函数 f（x）=x -2x，其定义域为 A=0,1,2,3 ，求这个函数的值域；2、求函数 f（x）= ，xR，在 x=0,1,2 处的函
6、数值及函数的值域。125、 区间：注：、区间的左端点必小于右端点；、区间两端的取值表示形式；、无穷大不是一个数，在区间的一端时，这一端必须是小括号。练习：函数 y= 的定义域可用区间表示为： 。x13经典例题解析：1、 判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数：、f（x）=6x 与 g（x）=6 （ ） ；x2、f（x）=6x 与 g（x）=6 （ ） ；、f（x）=6x 与 g（x）=6 ；34、 f（x）= 与 g（x）=x+3 ；925、 f（x）= 与 g（x）=|x+3|。2)3(2、已知函数 f（x）=3x +2x，求 f（f （1） ）的值。33、求下列函数的定义域：、y= ；
7、、y= ； 、y= ； 、y=232x2384x 2253xx。x14、已知函数 f（x+3）的定义域为【-5，-2】 ，求函数 f（x+1）+f（x-1）的定义域。5、已知函数 y=x +2x-3，分别求它在下列区间上的值域：2xR； x【0，+） ；x【-2,2】 ；x【1,2】 。6、 求函数 y= 的值域。12x7、 求函数 y=6x+1+2 的值域。13x8、已知函数 y= 的定义域为（-，+） ，值域为【1,9】 ，求 m，n 的值。182xnm作业：1、 判断下列各组函数是否表示同一函数：f（x）=x+2，g（x）= ； f（x）=（x-1） ，g（x）=x-1；f（x）=|x|，g（t）= 。242 2t2、 已知函数 f（x）=3x +2x，g（x）=x+1，求 f（g（1） ）的值。33、若函数 y=f（x）的定义域是【0,2】 ，则函数 g（x）= 的定义域是： 。1)2(f4、已知函数 y=f（ -1）的定义域为（ -2,3） ，则函数 y=f（3x-1）的定义域为： 。25、求函数 y= 的值域。45x6、求函数 y=|x-1|-|x+2|的值域。7 求函数 y=2x- 的值域。1x8、已知函数 y= 的值域为【-1,4 】 ，求实数 a，b 的值。12xba
