1、1两类不等式恒成立问题的区别给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),（1）若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，（） 或 （） 可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm（2）若在m,n内恒有 f(x)3 (C)12分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不等式xa在 上恒成立的问题。04)2(xax1,a2解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ）。4)2()xaxf 0)(af 1,a当 时，可得 ，不合题意。0f当 时，应有 解之得 。故 的取值范围为 。2x)1(f 31x或 ),3()1,(2.对于满足|a| 2 的所有实数 a,求
2、使不等式 x2+ax+12a+x 恒成立的 x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+10 在|a| 2 时恒成立,设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2 上恒大于 0，故有：即 解得：)2(0f01342x13x或或x3. 即 x(,1)(3,+)3.若不等式 x2-2mx+2m+10 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围
3、。解：设 f(x)=x2-2mx+2m+1 本题等价于函数 f(x)在 0 x 1 上的最小值大于 0，求 m 的取值范围。(1)当 m1 时，f(x)在0,1 上是减函数，因此 f(1)是最小值 得 m1f(1)综合(1)(2)(3) 得 214.（2007 山东）当 x（1，2）时，不等式 x2+mx+4 0 恒成立，则 m 的取值范围是 m-5解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x1，2 由于当 x（1，2 ）时，不等式 x2+mx+40 恒成立则由开口向上的一元二次函数 f（x）图象可知f（x）=0 必有0，当图象对称轴 x=-m /2 3/ 2 时，f（2）为函数
4、最大值当 f（2）0 ，得 m 解集为空集同理当-m /2 3/ 2 时，f（1）为函数最大值，当 f（1）0 可使 x（1，2）时 f（x）0由 f（1）0 解得 m-5综合得 m 范围 m-5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x1 ，2 由于当 x（1，2）时，不等式x2+mx+40 恒成立即 f(1) 0 f(2)0 解得 m-4 m-5 即 m-535.关于 x 的不等式 loga(2-ax)0.g(2)=2-a0,而 a0.故不等式有意义隐含 00 恒成立，求 x 的变化范围。Pxaxa(log)()log221a2，解：设 当 时的图像是一条线段，所以 a 在f
5、xlllog2221a2，上变动时，P 恒为正值的充要条件是 即 解得2, f()0llog2430x即 x 的取值范围是logl2231x或 128， ，10.若不等式 x2ax10 对于一切 x（0， ）成立，则 a 的取值范围是（ ）A0 B. 2 C.- D.-352解法一：设 f（x）x 2ax1，则对称轴为 x 若 ，即 a1 时，则 f（x）在0， 上是减函数，应有 f（ ）0 x1 1125若 0，即 a0 时，则 f（x）在0， 上是增函数，应有 f（0）10 恒成立，故 a02 2若 0 ，即1a 0，则应有 f（ ） 恒成立，故1 a0 a 22aa44 综上，有 a 故选 C52解法二：x 2+ax+10 对于一切 x（0，1/2 成立a -x -1/ x 对于一切 x（0，1/2 成立y=-x -1 x 在区间（0，1/2 上是增函数-x -1/x -1/2 -2=-5/2 a -5/2 故选 C
