1、4-2 力矩 转动定律转动惯量,结束放映,: 力臂,力矩的矢量表达式：,一力矩,力矩：是用来描述力对刚体的转动作用的物理量。,1、 对O 点的力矩：,力的作用点P相对给定点O的位矢 与力的矢积为力对给定点的力矩。,刚体就能改变转动状态？,如果刚体能绕O点任意转动，是不是只要,刚体就能转动？,Yes,如果刚体只能绕某一定轴转动，是不是只要,先看两个特殊方向的力产生的力矩,结论：力矩方向与转轴平行时，能使刚体转动状态发生变化；而当力矩方向与转轴垂直时，则不能。,因在定轴转动中平行于转轴的外力对刚体的绕定轴转动起不了作用，所以当一个任意的力 作用在刚体上，必须把力分解为两个力，一个是与转轴平行的力
2、，另一个与转轴垂直的力 。其中只有 的力矩 才能使刚体改变转动状态，因此把力矩 称之为力 对轴的力矩。,2、 对轴的的力矩：,垂直于转轴,因此，在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力对轴的力矩Mz表示。Mz即为力F 对轴的力矩，有时也省略下标Z。,是转轴到力作用线的距离，称为力臂。,对转轴的力矩为零，,在定轴转动中不予考虑。,（2）合力矩等于各分力矩的矢量和(可求代数和),（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,（1）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。,几点说明：,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,外力,内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,Z
3、,由于法向力的力矩为零，故不作讨论。,二 定轴转动定律,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线，对同一轴力矩之代数和为零)，得：,定轴转动定律,得到：,上式左端为刚体所受的合外力矩，以M表示；而右端求和符号内的量只与刚体本身性质及转轴位置有关,称之为刚体转动惯量，以J 表示。,刚体定轴转动定律,定轴转动定律,刚体转动惯量：,于是得到：,讨论：,定轴转动定律,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个 方向）。,定
4、轴转动定律,（4）具有瞬时性。,（5）M、J、是对同一轴而言的。,（6）转动中 与平动中 地位 相同。,三转动惯量,J 的意义：转动惯性的量度 。,转动惯量的单位：kgm2,（3）M 的符号：使刚体向规定的正方向加速的 力矩为正；,质量离散分布,J 的计算方法,质量连续分布,：质量元,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,说 明,与转动惯量有关的因素：刚体的质量分布转轴的位置,质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。,例1: 求质量为m、半径为R、厚为
5、l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。(1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒的中心并与棒垂直；,解：取如图坐标，dm=dx , =m/L,四、 平行轴定理,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,求质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例3 一长为 l
6、、质量为m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态,m,l,O,mg,解: 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，而约束力始终通过转轴O，其力矩为零，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,利用,消去时间dt,对上式积分，利用初始条件，,m,l,O,mg,解得：,分离变量,例4：一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮顺时针方向旋转（设该方向为转动的正方向）。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,例 题,而,例 题,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,作业：4-10， 4-13,
