二次函数必背知识点(精辟).doc

1、适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 1二次函数必背知识点 冲刺中考1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y y（2）函数 的图像与 的符号关系.2x当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中khxay2.ackh422，

2、5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ；2axykxy2； ； .2hxaykhxy2 cb26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开a口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是 ，对称轴是abcxacbaxy4222 ），（ abc422直线 .（2）配方法：运

3、用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到khxy2适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 2顶点为( , )，对称轴是直线 .hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称a

4、bx00轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.yaby（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxy2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xc2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负c0cycy半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11.

5、用待定系数法求二次函数的解析式适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 3（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般cbxay2 xy式.（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh2（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x2.21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).cbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元cy2x1x2二次方程 的两个

6、实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一0bxa元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像nxyl 02acbxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同Gcbxaynk2的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；l lG方程组无解时

7、 与 没有交点.G（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 4，由于 、 是方程 的两个根，故021， xBA1x202cbxaacbx21, acbacxxx 442221212121考点一、二次函数的概念和图像 （38 分）1、二次函数的概念一般地，如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2 acbaxy是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。),(2cbxay是 常 数 ，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴

8、；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 与坐标轴的交点：cbxay2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、

9、二次函数的解析式 （1016 分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程cxy2有实根 和 存在时，根据二次三项式的分解因式02cbxa12，二次函数 可转化为两根式)(xacbxay2适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 5。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xay考点三、二次函数的最值 （10 分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时， 。abx2abcy42最 值如果自变量的取值范围是

10、 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围1内，若在此范围内，则当 x= 时， ；若不在此范围内，21xab2abcy42最 值则需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，21x则当 时， ，当 时， ；如果在此范2xcbay最 大 1xcby12最 小围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当 时，1xxa12最 大 2x。cba2最 小考点四、二次函数的性质 （614 分） 1、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最ab2小值

11、， cy4最 小 值 （3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义： 表示)0,(2 abax是 常 数 ， b、 a开口方向： 0 时，抛物线开口向上， ， ， 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，图像与 x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2）则 AB 间的距离，即线段 AB

12、 的长度为 A211y0 xB2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间） 3、直线斜率： b为直线在y轴上的截距12tanxyk适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 74、直线方程： 一般两点斜截距 1，一般 一般 直线方程 ax+by+c=0 2，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:-最最)(1121 xxyy常用，记牢3，点斜 知道一点与斜率 )(11xky4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: ykx b(k0)5 ，截距 由直线在 轴和 轴上的截距确定的直线的截距xy式方程，简称截

13、距式：1ba记牢可大幅提高运算速度 5、设两条直线分别为， ： ： 1l1ykx2l2ykx若 ，则有 且 。 2/ 1/12b若 122lk6、点P（x 0， y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1)1(20220kbxkbd对于点 P（x 0， y0）到直线滴一般式方程 ax+by+c=0 滴距离有常用记牢20abcyxd7，二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐

14、标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 8表达能互换。二次方程零换 y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。A 定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换 y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。A 定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下

15、 A 负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxoo结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 9总结：2. 的性质：2yaxc结论：上加下减。同左上加，异右下减总结：的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有

16、最小y值 0a向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ca向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！ 103. 的性质：2yaxh结论：左加右减。同左上加，异右下减总结：4. 的性质：2yaxhk的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h，X=h 时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，X=h 时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值