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1、江苏省 2016 届高三高考前热身训练数学试题第 I 卷(必做题 160 分)一、填空题：本题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分。1.设集合 ，则 等于 1,216xAxByRACB答案： 0,2.若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 31ai,Ri答案： 3 3.平面向量 的夹角为 b与r2,012abb， ， 则rrr答案： 2 4. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 答案： 7105. 下面是一个算法的伪代码，其运行的结果 为 S答案：256. 已知直线 平面 ，直线

2、 平面 ，有下列四个命题：lm若 ，则 ； 若 ，则 ； lm若 ，则 ； 若 ，则 .lm l以上命题中，正确命题的序号是 答案：7.已知双曲线 的一个实轴端点恰与抛物线 的焦点重合，且双曲线的21xyab24yx离心率等于 2，则该双曲线的方程为 答案： 3yxS1For From 3 To 9 Step 2ISS+End ForPrint S8. 已知数列 满足 ，则 的值为 na12,()nnaN12301a答案： 69.已知函数 的最大值为 M,最小值为 ，则 = )(1|si|)(Rxxf mM 答案：210. 在 中，角 A,B,C 所对的边分别是 ，若 ，且ABC,abc22a

3、bc则 的面积等于 4ACurg答案： 2311. 已知函数 f（x ）及 g（x） （xD ） ，若对于任意的 xD ，存在 x0，使得 f（x）f （x 0） ，g（x）g（x 0）恒成立且 f（x 0）=g（x 0） ，则称 f（x） ，g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x 2+px+q（p，qR） ，g（x）= 是定义在区间 ，2上的“兄弟函数” ，那么函数 f（x）在区间 ，2 上的最大值为 答案：212. 已知定义在 上的函数 ，则方程 的实(,)2,0,()xff 4()1log|fxx数解的个数是 . 答案：613在平面直角坐标系 中，若动点 到两直线 ： 和 ： 的距

4、离xOy(,)Pab1ly2ly之和为 ，则 的最大值为 22ab答案： 18解：由题意得： 4（1） 此时 的最大值为 ；（2） 此时 的最大值为.3,2ab2ab18.1,2ab2ab10；（3） 此时 的最大值为 10；（4） 此时 的最大值为 .1,2ba2ab.3,2ba2ab1814. 设正实数 满足 ，则当 取得最大值时，,xyz220xyzxyz的最大值为 .2xyz答案：3三、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分 14 分）已知函数 （其中 ） ，若 的一条对13sincos2fxxx0fx称轴离最近的

5、对称中心的距离为 4（I）求 的单调递增区间；yfx（II）在 中角 A、B 、 C 的对边分别是 满足abc、 、恰是 的最大值，试判断 的形状.2cosbaf， 且 fxABC解：()因为 2 2131()3sincossin2(cos1)fxxxx3 分31sin2coi()6的对称轴离最近的对称中心的距离为()fx 4所以 ，所以 ，所以T215 分()sin)6fx解 kxk得： 3所以函数 单调增区间为 6 分()fx,()63kkZ() 因为 ，由正弦定理，2cosbaCA得 (sin)incosBAAB CDE FMNG第 17 题图2sincosicsincosi()BCAC

6、A因为 ()()0B，所以sicsisi(2c1)所以 ，所以 9 分1o2C03C所以 03B4B766根据正弦函数的图象可以看出， 无最小值,有最大值 ，()f max1y此时 ，即 ,所以2B3A所以 为等边三角形12 分AC17. （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， 与 交于点 且平面BCDPACBD,/,O平面 为棱 上一点.PE,A（1）求证： ;O（2）若 求证： 平面 ,2,PCDAB/EO.PBC（1）因为平面 底面 ，AB平面 底面 ， PC， 平面 ，BD所以 平面 ，A又因为 平面 ，OEPC所以 7 分（2）因为 ， ， 与 交于 ，/B2DBO所以 ，:1

7、:CA又因为 ，所以 ，EP:CAPE所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，/OPBC所以 平面 14 分B17. （本小题满分 14 分）某小区想利用一矩形空地 建市民健身广场，DNTMHGFE DCBA设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分） ，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中 ， ，且 中， ，经测量得到60ADm40BEFG90为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设1,2EF计时经过点 作一直线交 于 ，从而得到五边形 的市民健身广场，设G,ADNM, MBCDN()Nx（1）将五边形 的面积 表示为 的函数；MBCNyx（2）当 为何值时，市民健身广场的面

8、积最大？并求出最大面积（1）作 GH EF，垂足为 H，因为 ，所以 ，因为DNx40,6xNAx,NHG所以 ，所以 2 分4061AM10过 作 交 于 T，/TBC则 ，DWDNSS(40)6(0)2AxA所以 6011(4)2xxy 、7 分x52由于 与 重合时， 适合条件，故 ,、8 分NF30AMF0,3x（2） ，10 分 44524650xy所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 2000，13 分030,xy所以当 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 14 分20DNm 20m18. （本小题满分 16 分）已知 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且 ，若动点00,

9、1,AxBy 1AB满足 .,Py23O（I）求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程；（II）一条纵截距为 2 的直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点，求1l出直线方程；（III）直线 与曲线 C 交于 A、B 两点， ，试问：当 t 变化时，是否2:1lxty10E，存在一直线 ，使 的面积为 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理ABE232l由解: () 因为 OP即 000(,)2(,)3(,),)xyyxy所以所以 001,又因为 ,所以|AB201xy即: ,即23()x243所以椭圆的标准方程为 4 分2() 直线 斜率必存在，且纵截距为

10、 ,设直线为1l 22ykx联立直线 和椭圆方程 2143ykx得: 2(34)160kx由 ,得0设 12,()()PyQ则 (1)212264343kxxk以 直径的圆恰过原点所以 ,O0即 12xy也即 12()kx即 2)4将(1)式代入,得 2230k即 24(1)3()k解得 ,满足（*）式，所以 8 分3k()由方程组 ,得2143xty2(4)690tyt设 ,则12,(,)()AxyB1212,334ytt所以 22 212112 26914()4()334t tyyyt因为直线 过点:lxt(,0)F所以 的面积ABE 21221ABE ttS,则 不成立21334t令 2

11、t不存在直线 满足题意13 分l19 （本题满分 16 分）已知各项均为正数的两个无穷数列 na、 b满足*112()nnnabaN（）当数列 na是常数列（各项都相等的数列） ，且 时，求数列 通项公式；（） 设 、 b都是公差不为 0 的等差数列，求证：数列 n有无穷多个，而数列nb惟一确定；（）设2*1()naN，21niSb，求证： 26nS解：（1）因为数列 是常数列，且 ，n*1()Nnnaa所以 ，*()nb因此 ，12,2)-得 ，2 分*Nn这说明数列 的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为 2 的等差数列，a又 ， ，所以 ，12b1223b因此 ， ，1()

12、()nn2 1()2nn即 . 4 分*2Nb（2）设 ， 的公差分别为 ，nab12,(0)d将其通项公式代入*1Nnnnab得 ，它是 n 的恒等1212121()()()d bdna式，所以 解得 因此 7 分1122112,00,bda12,ad1,.nb由于 可以取无穷多非零的实数，故数列 有无穷多个，数列 惟一确定.8 分nn（3）因为 ，且 ，2*1()Nnna0na所以 ，即 ，10 分221 1nn n1na所以 ，得 ，11nabab2b因此223421()()()ni nS 23又由 得 ，而 ，所以 *11()Nnnnaba11()nnaba0n2nb因此 ，14 分2

13、 2()4iS所以 所以 16 分2,4)n26nS20.（本小题满分 16 分）已知函数 ， ()lnafxxR（1）当 时，求函数 的极大值；0a()f（2）求函数 的单调区间；()f（3）当 时，设函数 ，若实数 满足： 且1a()1)1agxfxba， ，求证： ()bg2b45解：函数 的定义域为 ()fx(0,)（1）当 时， ， ，令 得 1 分0alnfx1()fx()0fx1列表：x (0,1)1(,)()f+ 0 极大值 所以 的极大值为 3 分()fx(1)f(2) 21axaf 令 ，得 ，记 ()0fx2014a（）当 时， ，所以 单调减区间为 ； 5 分14a (

14、)0fx ()fx(0,)（）当 时，由 得 ，f12414,aa若 ，则 ，104a120x由 ，得 ， ；由 ，得 ()fx 1()0fx21x所以， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为f 4(0,2a14,)a； 7 分141(,)2a若 ，由（1）知 单调增区间为 ，单调减区间为 ； 0()fx(0,1)(1,)若 ，则 ，a12由 ，得 ；由 ，得 ()0fxx()0f 1x的单调减区间为 ，单调增区间为 9 分f 4,2a14(0,)2a综上所述：当 时， 的单调减区间为 ；1a ()fx,)当 时， 的单调减区间为 ，04f 14(0,2a，单调增区间为 ；1(,)2a14(,)

15、2a当 时， 单调减区间为 ，单调增区间为0 ()fx1(, 10 分14(0,)2a（3） （ ） ln(gx1x由 得 )1balln()ab ， (舍)，或 11()b ， 12 分2()()a由 得， 2bg1ln(1)l()2ln()1(*)bab，因为 ，=2aab所以（*）式可化为 ，1ln()2l()1bab即 14 分12b（ ）令 ，则 ，整理，得 ，()t21()tt43210tt从而 ，即 3210tt310t记 ，令 得 （舍） ，(),1httt2()6htt()ht231t，列表：231tt23(1,)23(1,)()h+t 所以， 在 单调减，在 单调增，又因为 ，()ht231,)23(1,)(3)0,4h所以 ，从而 16 分345b第卷(附加题 40 分)21.已知曲线 ，在矩阵 M 对应的变换作用下得到曲线 ， 在矩阵 N2:Cyx 102 1C对应的变换作用下得到曲线 ，求曲线 的方程01 2C2解：设 A=NM，则 A ， 3 分010设 是曲线 C 上任一点，在两次变换下，在曲线 上的对应的点为 ，,Pxy 2C,Pxy 则 ， 即 7 分021xy2,xy,1.xy又点 在曲线 上， ，即 10 分,Pxy 2:C 21()28yx22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的Ox l