数模第一次作业.doc

1、数模第一次作业姓名（学号）杜永志（07114140） 蔡国栋（07114136）学院 理学院 老师 穆 学 文 问题 1: 如果在食饵-捕食者系统中 ,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获.在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点。问题 2: 恶狼追兔问题. 设有一只兔子和一只狼,兔子位于狼的正西 100m 处。假设兔子与狼同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北 60m 处的巢穴跑，而狼则在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度的两倍。问兔子能否安全回到巢穴。问题 3: （2007 年全国数模竞赛 a 题） 利用雷斯利模型（Les

2、lie）研究中国未来的人口发展状况。问题一该问题添加了“捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获”这一条件，这里将捕食者看做鲨鱼，食饵看成食用鱼，按其体积大小分为“大鱼”和“小鱼”2 类，研究大鱼，小鱼以及鲨鱼三者的稳定性。符号说明序号 符号 意义1 x1(t) 食饵中大鱼在时间 t 的数量2 x2(t) 食饵中小鱼在时间 t 的数量3 y(t) 捕食者鲨鱼在时间 t 的数量4 x1(t) 大鱼增长率5 x2(t) 小鱼增长率6 y(t) 鲨鱼增长率7 a 捕食者鲨鱼掠夺食饵中大鱼的能力8 b 大鱼对鲨鱼的供养能力9 d 鲨鱼离开食饵的死亡率10 r1 大鱼产小鱼的速率

3、（小鱼的出生率）11 r2 小鱼长大成为大鱼的速率问题分析对大鱼而言，小鱼成长使得其增长率变大，比例系数为 r2，与小鱼数量 x2 有关；被鲨鱼捕食增长率变小，减小的程度与捕食者数量成正比,系数为 a。于是 x1(t)满足方程x1(t)=r2x2-ax1y (1)对小鱼而言，小鱼成长使得其增长率变小，比例系数为 r2，与小鱼数量 x2 有关；大鱼产小鱼使得增长率变大，比例系数为 r1，与大鱼数量 x1 有关。于是 x2(t)满足方程x2(t)=r1x1-r2x2 (2)对鲨鱼而言，大鱼的存在使得其增长率变大，变大的程度与大鱼数量成正比，系数为b；鲨鱼离开食饵无法生存，死亡率为 d。于是 y(t

4、)满足方程y(t)=bx1y-dy (3)以上三式就是自然环境下，大鱼小鱼以及鲨鱼三者之间依存和制约的关系。令三式右端为零，得到方程组，并把（1） （2）式得到的方程相加的r1x1-ax1y=0 (4)与（3）式得到的方程 bx1y-dy=0 (5)构成方程组解得两个平衡点 ：P1（0,0,0） P2（d/b,r1d/r2b,r1/a）(按照（x1,x2,y）排列)然后按照 Volterra 食饵-捕食者模型中的相轨线分析方法分析 x1(t) ,y(t)在 P1，P2点的稳定性，把 x1(t)的结果代入（2）式即得到 x2(t)的稳定性，综合 x1(t),x2(t),y(t)即得到成年食饵，未

5、成年食饵和捕食者三者的稳定性关系问题二解：设兔子速度为 v, 则狼得速度为 2v, 兔子安全回到巢穴得时间为 t1=60/v狼到兔子巢穴的最短距离为(602+1002)(1/2)=20*34(1/2)狼到兔子巢穴的最短时间为 t2=20*34(1/2)/(2v)=10*34(1/2)/v显然只要 v0,就有 t1t2所以 兔子不能安全回到巢穴。问题三 1、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面

6、建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie 模型）： 以人口数据（ 中国人口统计年鉴中的部分数据）中提供的 2001 年的有关数据，构造 Leslie 矩阵，建立相应 Leslie 模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率 1.8，构造Leslie 矩阵，建立相应的 Leslie 模型。2

7、、问题假设1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争。 不随时间而变化isb,2、超过 90 岁的妇女都按 90 岁年龄计算3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4、不考虑移民对人口总数的影响3.符号说明序号 符号 意义1 t表示年份（选定初始年份的 ）0t2 r人口增长率3 x人口数量4 mitn,21),(在时间段 第 年龄组的人口总数ti5 )90bi（ 第 年龄组的生育率i6 ,d（ 第 年龄组的死亡率7 ,(si 第 年龄组的存活率i8 LLeslie 矩阵9 0Z2001 年全国人口总数10 sz2001 年城市总人口11 2001 年镇总人口12 x2001 年乡总人口

8、13 mini,21),0(2001 年第 年龄段的人口总数i4.模型建立与求解一、模型的准备将人口按年龄大小等间隔地划分成 个年龄组（譬如每 10 岁一组） ，模型要讨论在不m同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为 .设在时间段 第 年龄组的人口总数为 ，定义向量2,10t ti mitn,21),(，模型要研究的是女性的人口分布 随 的变化规律，从Tmntn)(,)( )(t而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第 年龄组的生育率为 ，即 是单位时间第 年龄组的每个女性平均生育女儿的iibi i人数；第 年龄组的死亡率为 ，即 是单位时间第 年龄

9、组女性死亡人数与总人数之比，d称为存活率。设 、 不随时间 变化，根据 、 和 的定义写出iids1iistibis)(tni与 应满足关系：)(tn)t（9）1,2),()1(mitnstbiimi 在（9）式中我们假设 中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段 以后出生而活不到t的那些婴儿。若记矩阵1t（10）001211mmssbbL 则（9）式可写作（11）)(tLnt当 、 已知时，对任意的 有L)(n,2（12）0)t若（10）中的元素满足（） ；1,2,0misi （） ，且至少一个 。b1ib则矩阵 称为 Leslie 矩阵。L只要我们求出 Leslie 矩阵 并根据人口分布的初始

10、向量 ，我们就可以求出 时L)0(nt段的人口分布向量 。)(tn二、模型的建立我们以 2001 年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中所给数据，以一岁为间距对女性分组。(1) 计算 2001 年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量 ：)90,21),0(ini（人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）给了 2001 年中国人口抽样调查数据，提取为表 3表 3城市男 147907城市女 147465镇男 80279镇女 77976乡男 394690乡女 372242根据抽样调查的结果，可以算出 2001 年城市、镇、乡人口占 2001

11、年全国总人口的比率分别为： 6283.0,197.,24.0xzs pp我们由表 1 数据知 2001 年全国总人口 （单位：千万） ，因此可以算出0Z2001 年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：、 、85.30zs 54.z 194.80zpx根据人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）给的 2001 年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出 2001 年城市、镇、乡处在第 年龄段),2(i的女性的总数分别为 。以城市为例，设 2001 年城市中处在 年龄段)0(,)(321iii nn i妇女占城市总人口比率分别为 ，则 （镇、乡类似） 。于是可以算出 2001PsiZ1

12、年处在第 年龄段上的妇女总人数90,(i（见表 2） 。)()(32iiii （2）计算处在第 年龄段的每个女性平均生育女儿的人数,21。),10(ib人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中分别给出了 2001 年城市、镇、乡育龄妇女（15 岁49 岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩） （)90,1(i或 时都为 0） ，则5i49i可以分别算出 2001 年处在第 年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生)90,1(i育的小孩数（包含男孩和女孩） ，记为：。)4,65(,465,)49,165( 321 iHHiHi以城市为例计算 ：)(i（镇、乡类似） 。)9,1(0*,1 inbi i

13、i人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）中还分别给出了 2001 年市、镇、乡的男女出生人口性别比 （女 100 计） ，据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩321c的出生率 。由此)3,2(0ivii就可以求出 2001 年处在第 年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：)49,5(i，)49,15(321 invHHbiii由于总和生育率： 经计算得到总和生育率小于 1.8，误差很大，我们对38.S4915ii生育率进行修正： 具体计算结果见附录 7。ib*1)S/v(3) 计算第 年龄段的女性总存活率率 ：i )90,2(di记第 年龄段的女性的死亡率为 。人口数据（中国人口统计年)90,2

14、1(i id鉴中的部分数据）中分别给出了城市、镇、乡处在第 年龄段的)90,2,1(女性死亡率 ，则处在第 年龄段的女性总死亡率)90,21(,321 idii为：),0(id，),()()0)321innbi iiiii于是总存活率为： 。用 EXCEL 对计算出来的数据进行整理，然后运用 MATLAB 软iids件进行编程，计算出 Leslie 矩阵，于是可以用上面(12)式进行预测)0()Ltt5、模型的评价一、模型的优点：在模型中我们充分考虑到不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，采用 leslie模型，建立年龄结构的离散模型，并通过合理假设，在时间跨度不大的前提下，对人口数量仅此

15、进行了预测。因为原始数据得到的人口总和生育率跟实际情况不符，我们对此进行了合理修正，使预测更为准确。在模型中我们对不同的平均妇女生育胎数下人口总数及老龄化趋势进行了分析，得到适合平均生育胎数的最佳值。二、模型的缺点：在模型假设中我们 及 不随时段的变迁而改变这一理想状态下，但出生率及死亡率ibip会随时间的变化而有所该变，本模型没有建立 与死亡率随时间变化的动态模型，因而存ib在一定的误差。三、模型的改进：随着人民的生活水平的提高和医疗卫生的改善，各年龄的死亡率不断下降，存活率不断提高。因此我们可以对 Leslie 模型进行进一步改变：记 时段 年龄组中女性所占的百分比为 ，并设为育龄女性的年

16、龄组，则 时ji )(jKi j段新生儿为 ),()()1,0( jiNKjbjNii msii ,1,我们引入控制变量 ，使得)(jh,*)(jbi=1，这里 ， ， 称为女性生育模式，我们将 lestie 矩21,ih51i49ji),(jih阵变成： jj NBjAN*)(其中 0)j(s0)j(s00( 1m jA 00()( 21 bjjBii)(,)( jKihjjbii在一定时期内 （这里 j 从 0 到 90） ， 为平均生育胎数， 和 可视si ),(jih(jKi为与 无关的常数，我们可以通过控制结婚年龄和生育两胎间的年龄差来求 的最佳j ,值，从而达到控制人口数量和年龄结

17、构的目的。相关数据表 1 各年份全国总人口数（单位：千万）年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962总人口 60.2 61.5 62.8 64.6 66.0 67.2 66.2 65.9 67.3年份 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971总人口 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83.0 85.2年份 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980总人口 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95.0

18、96.259 97.5 98.705年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005总人口 125

19、.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756表2： 年龄 女性总人数（万人） 出生婴儿数 平均有孩子数 女性死亡率 存活率0 680.8912721 0 0 0.025093034 0.9749069661 584.5917197 0 0 0.000678769 0.9993212312 584.5582068 0 0 0.00227567 0.997724333 692.2202166 0 0 0.000752384 0.9992476164 724.1102102 0 0 0.000432582 0.9995674185 775.

20、5360408 0 0 0.000819337 0.9991806636 847.368918 0 0 0.000112052 0.9998879487 834.4187027 0 0 0.000612404 0.9993875968 917.9220422 0 0 0.000381414 0.9996185869 951.4668194 0 0 1.43283E-05 0.99998567210 1070.015717 0 0 0.000610566 0.99938943411 1249.256063 0 0 0.000275646 0.99972435412 1199.263988 0 0

21、 0.000198204 0.99980179613 1202.198525 0 0 0.000372374 0.99962762614 1274.218917 0 0 0.000295205 0.99970479515 1111.050839 0.04975282 4.478E-05 0.000360314 0.99963968616 992.3144255 0.31969267 0.000322169 0.000271538 0.99972846217 893.7975435 0.32019903 0.000358246 2.54672E-05 0.99997453318 874.6573

22、467 0.878684215 0.001004604 0.000826673 0.99917332719 984.3568772 4.610104752 0.004683367 0.001045882 0.99895411820 859.5767785 9.464941793 0.011011165 0.000558933 0.99944106721 852.1534601 28.6464102 0.033616492 0.000642608 0.99935739222 908.6441803 52.58813995 0.057875394 0.000709325 0.99929067523

23、 897.9448075 67.23067828 0.074871727 0.001000824 0.99899917624 880.5393233 60.91747665 0.069182006 0.000118396 0.99988160425 1019.086724 77.49047872 0.076039141 0.001103653 0.99889634726 1042.18667 70.08595946 0.06724895 0.001644061 0.99835593927 1114.823731 58.44954611 0.052429406 0.000864661 0.999

24、13533928 1192.867199 52.16702211 0.043732464 0.000925473 0.99907452729 1203.566572 41.34311586 0.034350502 0.001127348 0.99887265230 1272.973995 31.35682793 0.024632733 0.000819206 0.99918079431 1328.513576 30.89130407 0.023252532 0.001081841 0.99891815932 1254.992403 23.02138824 0.018343847 0.00095

25、3888 0.99904611233 1333.819445 19.60884638 0.014701275 0.000957646 0.99904235434 1103.186123 12.17913165 0.011039961 0.000603973 0.99939602735 1224.70307 8.71689379 0.007117557 0.001375028 0.99862497236 1220.643442 6.218986948 0.005094843 0.001747284 0.99825271637 1236.736319 4.443481847 0.00359291

26、0.000402145 0.99959785538 1390.726415 3.497479671 0.002514858 0.001289055 0.99871094539 980.7651115 2.436986371 0.002484781 0.000996726 0.99900327440 646.684069 1.141209173 0.001764709 0.000556556 0.99944344441 785.6606232 1.15621292 0.001471644 0.000858585 0.99914141542 701.6275919 0.474969244 0.00

27、0676953 0.001227899 0.99877210143 910.4201123 0.241694883 0.000265476 0.001059495 0.99894050544 960.1576463 0.385478795 0.000401474 0.002094995 0.99790500545 914.2587126 0.373729499 0.000408779 0.001625438 0.99837456246 953.9805681 0.105364204 0.000110447 0.002216226 0.99778377447 927.4299561 0.1784

28、38804 0.000192401 0.002403334 0.99759666648 851.0077586 0.331399971 0.000389421 0.002655094 0.99734490649 825.4823586 0.184965341 0.000224069 0.003045501 0.99695449950 807.9428229 0 0 0.003330216 0.99666978451 736.5520021 0 0 0.003969241 0.99603075952 690.4320402 0 0 0.004993361 0.99500663953 605.80

29、29501 0 0 0.003842512 0.99615748854 615.5106238 0 0 0.005352256 0.99464774455 554.7856629 0 0 0.004220565 0.99577943556 503.7013501 0 0 0.004347687 0.99565231357 480.0517619 0 0 0.00422287 0.9957771358 468.7228174 0 0 0.007522194 0.99247780659 455.3640586 0 0 0.005030436 0.99496956460 484.3865412 0

30、0 0.011869463 0.98813053761 447.3446813 0 0 0.010715132 0.98928486862 420.1644977 0 0 0.011296039 0.98870396163 442.3803304 0 0 0.011697437 0.98830256364 426.5290912 0 0 0.01579176 0.9842082465 428.1838749 0 0 0.015504584 0.98449541666 391.3295304 0 0 0.014701265 0.98529873567 380.4091293 0 0 0.0199

31、37911 0.98006208968 385.3399674 0 0 0.021071693 0.97892830769 327.9245739 0 0 0.022641554 0.97735844670 334.6977109 0 0 0.028873011 0.97112698971 307.330012 0 0 0.030696101 0.96930389972 262.8648337 0 0 0.030020182 0.96997981873 270.6631827 0 0 0.03594941 0.9640505974 235.8721654 0 0 0.038259688 0.9

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