西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定.doc

1、2015 年数学建模论文第 6 套题 目：西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定摘要食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活 成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。本文应用时间序列法来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。针对问题一，根据所选的 5 种蔬菜近几年的价格数据，研究这 5 种蔬菜价格随月份的变化规律，通过绘制 5 种蔬菜价格随月份变化的折线图，发现蔬菜价格具有较明显的季节性变动。显然，5 种蔬菜价格分别是 5 个时间序列，利用 matlab 软件对 5 个

2、时间序列进行稳定性检验，结果 显示全部 5 个时间序列都是平稳时间序列。因此，本文分别对 5 个时间序列建立了 ARMA模型。针对问题二，考虑到人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，选取季节性蔬菜，进而计算每月蔬菜价格的平均价格，求出每月的定基价格指数。通过检验发现价格指数仍为是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立 ARMA 模型进行研宄。针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，然后利用 SPSS 软件做线性回归，得到显著性水平为 0.05 时，线性回归模型整体显著。由回归方程可知近几年蔬菜价格总体升高，结合蔬菜价格指数的变动情况可知西安市每年一月至四月蔬菜 价

3、格总体处于高位。针对问题四，本文根据题目要求，在满足所有约束条件的情况下，以采购蔬菜的 最大重量为目标函数分别对四个蔬菜批发市场建立整数规划模型。通过 LINGO 软件 进行求解，得出到胡家庙蔬菜批发市场进行一次采购可以使得当天采购蔬菜的总重量最大。关键词：蔬菜价格 ARAM 预测模型 价格指数 线性回归 1、问题重述食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。为

4、监测食品价格的实际变化情况，西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测，每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据（http:/ 17 种蔬菜数据中任意选取 5 种蔬菜，并根据这 5 种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这 5 种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测 2015 年这 5 种蔬菜每月的价格。2）监测 17 种蔬菜的价格数据给监测人员带来了很大的工作负担，为了综合评价蔬菜价格的总体水平，请建立一个蔬菜价格指数模型，使这个指数的升降能够从总体上较为准确地反映蔬菜价格的水平。注意蔬菜的类型、人们的消费习惯、以及其它因素都可能与这个蔬菜价格指数有关，并说明你所建立指数的合理性。3）根据你

5、在问题 2）中建立的蔬菜价格指数模型，研究一下近几年蔬菜价格总体的变化趋势，说明一下对于西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。4）假设你是一家饭店的采购员，每一天都要根据当天西安市四个主要蔬菜批发市场的蔬菜牌价（如表 1 所示），选择到其中一家市场进行一次采购。为满足饭店营业需求，饭店制定了采购单，并对采购量做出如下要求：每天必须购买的蔬菜有：豆角至少 50 公斤，青椒至少 30 公斤，土豆至少20 公斤，西红柿至少 100 公斤，莲花白至少 100 公斤，胡萝卜至少 20 公斤，茄子至少 10 公斤，其余蔬菜品种采购员可以酌情自己选择购买至少 5 种，如果购买这种蔬菜要求至少购买 10 公

6、斤。假设采购所用的汽车是一辆载重量不超过 1.5 吨的小型三轮货车，因为车辆保养的原因，要求每天车辆的公里吨数（即路程载重吨数，空载不计）不得超过 8（公里吨），每天采购额不得超过 4000 元，且采购单中要求必须购买蔬菜的采购额至少要达到实际采购总额的 80%以上。请建立数学模型为你今天的采购计划制定最佳方案，即在满足上述所有条件都满足的情况下，到哪一个蔬菜市场区购买蔬菜，购买哪些蔬菜，各多少公斤，使得当天采购蔬菜的总重量最大。假定蔬菜批发的最小单位为 1 公斤。表 1. 西安市主要蔬菜批发市场今日蔬菜牌价（单位：元/公斤）胡 家 庙蔬 菜 批 发 市 场（ 与 饭 店 距 离7.2km）朱

7、 雀蔬 菜 批 发 市 场（ 与 饭 店 距 离11.5km）新 北 城蔬 菜 批 发 市 场（ 与 饭 店 距 离10.8km）西 三 环蔬 菜 批 发 市 场（ 与 饭 店 距 离13.5km）豆 角 5.7 6 5.8 5.3茄 子 4.5 4.3 4.2 4.3青 椒 4.6 4.5 4.3 4西 红 柿 6 5.4 5.8 5.5青 菜 3.9 3.7 4 4.2冬 瓜 3.1 3 2.6 2.7白 萝 卜 2.2 1.9 1.9 2韭 菜 5.5 4.6 4.7 4.5黄 瓜 3 2.4 3.1 3尖 椒 4.7 4.9 4.6 4.8蒜 薹 2.6 2.4 2.4 2.6土 豆

8、3.7 3.2 3.4 2.9菜 花 1.6 1.8 1.5 1.4白 菜 2.6 2.1 2.2 1.9莲 花 白 1.6 1.1 1.3 1.4芹 菜 2.2 2 2.3 2.5胡 萝 卜 5 4.9 4.3 4.4二、问题分析题目要求对建立明确的数学模型，分别用来研究蔬菜价格随月份变化的规律，并对蔬菜价格进行预测；研究近几年蔬菜价格总体变化趋势；以及确定蔬菜采购的最优方案。问题一，要根据所选的 5 种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5 种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测 2015 年这 5 种蔬菜每月的价格。由于 5 种蔬菜价格分别是 5 个时间序列，因此可以考虑运用时间序列构建

9、模型来研究蔬菜价格 随月份变化的规律，并考虑比较常用的 ARMA 模型建模。按照建立模型的步骤，首先对序列进行稳定性检验，确定为平稳非白噪声序列后，计算自相关和偏自相关系数，进而进行 ARMA 模型识别；确定相应的模型后，估计模型中未知参数的值，然后对所得模型进行检验，验证模型是否有效；最后根据所得的模型预测时间序列将来的走势，从而对所选的 5 种蔬菜价格进行预测。问题二，考虑到蔬菜的种类、人们的消费习惯、季节性变化等多种因素都会对蔬 菜的价格指数造成影响，各种影响是一灰色系统，很难建立确定的数学关系。因此本文选取了蔬菜种类以及人们的消费习惯两种因素进行研究。为了减小误差，本文查找网上资料，选

10、取季节性蔬菜，进而计算每月蔬菜价格的平均价格，求出每月的定基价格指数。问题三，要研究近几年蔬菜价格总体的变化趋势，容易考虑到运用回归分析来研 究变化趋势，因此可以对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析。首先绘制蔬菜 价格的散点图，大体上确定合适的回归模型；然后利用软件进行各种回归参数的求解,得出回归方程；最后根据回归方程可知近几年蔬菜价格总体的变化趋势。结合问题二的模型即可知西安市每年什么时候蔬菜价格总体处于高位。问题四，要求满足题目所有的约束条件的情况下确定采购方案，使得采购蔬菜的 总重量最大。显然，这是一个线性规划问题，只需根据题目要求分别对三个蔬菜批发 市场建立整数规划模型，确定目标函

11、数和约束条件，利用软件进行求解。最后比较四 个结果，选择最优方案即可。三、模型假设1、假设所统计的数据全部真实可靠。2、假设所有蔬菜的产量充足。3、假设同一大类的蔬菜对总体价格指数的影响相同。4、假设统计数据中的缺省值对平均价格的影响可以忽略。四、符号说明 tx时间序列B 线性后移算子t随机干扰序列ijxj 市场采购 i 种蔬菜的重量ijcj 市场 i 种蔬菜的价格js蔬菜批发市场与饭店之间的距离iy0-1 变量五、模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 蔬菜价格随月份的变化趋势本 文 采 用 了 西 安 市 物 价 局 公 布 的 蔬 菜 价 格 监 测 数 据 ， 具 体 收 集 了 西

12、 红 柿 、尖 椒 、 茄 子 等 17 种 蔬 菜 2011 年 6 月 至 2014 年 5 月 每 期 的 价 格 ， 并 将 西红 柿 、 尖 椒 、 土 豆 、 黄 瓜 、 莲 花 白 其 整 理 为 表 1， 如 下 ：表 一 西 红 柿 、 尖 椒 、 土 豆 、 黄 瓜 、 莲 花 白 数 据 统 计西 红 柿 尖 椒 土 豆 黄 瓜 莲 花 白2011/6 3.97 6.13 2.90 2.77 1.932011/7 3.55 5.75 2.75 2.70 2.202011/8 3.80 4.00 2.73 3.73 1.932011/9 4.43 4.05 2.80 4.1

13、5 2.032011/10 5.38 6.05 2.45 3.83 1.952011/11 5.38 5.85 2.13 505 1.602011/12 5.75 6 90 2.08 8 00 1.402012/1 5.50 12.75 2.03 9.75 2.032012/2 6.30 10.00 2.33 8.33 2.302012/3 7.90 10.70 3.00 7.34 2.932012/4 7.98 11.78 3.25 6.15 3.432012/5 5.65 8.90 3.30 4.40 3.152012/6 3.55 5.75 3.23 2.80 2.452012/7 2.

14、58 4.50 2.55 2.80 1.782012/8 4.77 4.03 2.47 4.43 1.902012/9 5.75 4.10 2.90 3.65 2.452012/10 4.95 4.15 2.98 3.23 1.932012/11 5.45 4.35 2.93 4.48 1.692012/12 5. 73 5.63 3.17 5.80 2.032013/1 7.25 7.95 3.58 6.65 2.902013/2 6.77 6.83 3.97 11.53 3.002013/3 6.03 7.25 4.08 8.68 2.382013/4 6.94 10.52 4.54 6.

15、42 2.682013/5 5.58 8.18 4.98 3.58 2.302013/6 4.50 5.83 5.25 3.63 1.682013/7 4.72 6.54 4.68 4.18 1.882013/8 4.43 6.16 4.50 3.58 2.482013/9 5.48 6.86 4.64 5.74 2.322013/10 7.04 7.20 4.82 6.02 2.922013/11 8.15 7.75 4.53 6.08 2.832013/12 7.02 7.50 4.68 6.02 2.682014/1 8.75 9.25 4.40 6.53 2.632014/2 9.93

16、 10.83 4.40 9.53 2.672014/3 9.95 9.23 4.80 9.18 1.732014/4 7.75 8.28 5.01 4.80 1 902014/5 6.43 6.13 3.73 2.68 1.08最 小 值 2.58 4.00 2.03 2.68 1.08最 大 值 9.95 12.75 5.25 11.53 3.43平 均 值 5.97 7.16 3.57 5.51 2.25中 位 数 5.69 6.85 3.28 4.93 2.25制 做 5 种 蔬 菜 价 格 随 时 间 变 化 的 折 线 图 ， 如 图 1 所 示 。 由 图 可 以 看 出5 种 蔬

17、 菜 价 格 均 存 在 明 显 的 季 节 变 动 ， 变 动 的 总 体 趋 势 是 冬 春 价 格 较 高 ，夏 季 价 格 较 低 。 其 中 西 红 柿 、 .尖 椒 、 黄 瓜 每 年 的 价 格 波 动 较 大 ， 土 豆 、莲 花 白 每 年 的 价 格 波 动 较 小 。图 1 5 种 蔬 菜 月 平 均 价 格 变 动 图从 每 月 价 格 变 动 情 况 看 ， 由 于 1 4 月 天 气 较 寒 冷 ， 蔬 菜 供 应 大 部 分 为温 室 蔬 菜 ， 其 成 本 较 高 ， 所 以 是 一 年 中 蔬 菜 价 格 较 高 时 期 。 随 着 天 气 逐 渐 变暖 ，

18、5 9 月 是 蔬 菜 生 产 旺 季 ， 蔬 菜 价 格 逐 渐 下 降 。 在 每 年 的 8 月 左 右 ，蔬 菜 价 格 降 到 最 低 值 。 随 着 天 气 逐 渐 变 冷 ， 10 12 月 蔬 菜 供 应 逐 渐 减 少 ，加 上 北 方 主 要 依 靠 温 室 种 植 蔬 菜 ， 其 成 本 逐 渐 提 高 ， 蔬 菜 价 格 也 随 之 上升 ， 在 每 年 的 二 月 左 右 价 格 最 高 。5.1.2 蔬菜价格 ARMA 模型的建立 5.1.2.1 时间序列的平稳性检验ARMA 模 型 适 用 于 平 稳 时 间 序 列 ， 因 此 在 建 立 ARMA 模 型 前

19、， 必 须 对 有关 时 间 序 列 进 行 平 稳 性 检 验 。 如 果 序 列 为 平 稳 序 列 即 可 使 用 ARMA 模 型建 模 ， 如 果 序 列 为 非 平 稳 序 列 ， 则 需 要 对 序 列 进 行 处 理 ， 判 定 为 平 稳 后再 构 建 模 型 。实 际 应 用 中 通 常 采 用 ADF 检 验 对 序 列 平 稳 性 进 行 检 验 ， ADF 检 验 的 形式 为 :tptttt YaY.11检 验 假 设 为 ;即 序 列 非 平 稳 ， 即 序 列 平 稳 。0:H0:H进 行 ADF 检 验 需 要 选 择 合 适 的 模 型 形 式 （ 是 否

20、含 有 常 数 项 和 趋 势 项 ） ，在 检 验 时 ， 需 要 确 定 检 验 的 滞 后 阶 数 ， 对 于 检 验 形 式 的 选 择 ， 需 要 依 据AIC 准 则 。 利 用 用 EViews 软 件 进 行 检 验 ， 结 果 如 表 2 所 示 。表 2 ADF 检 验 结 果临 界 值蔬 菜 体 验 形式 10% 5% 1%ADF 检 验统 计 量伴 随 概率 D.W 值AIC值西 红 柿 （ C,9） -2.6 -2.9 -3.6 -3.27 0.02 1.92 2.96尖 椒 （ C,9） -2.6 -2.9 -3.6 -4.46 0.00 2.21 3.75土 豆

21、（ C,9） -2.6 -2.9 -3.6 -3.86 0.00 1.58 0.94黄 瓜 （ C,9） -2.6 -2.9 -3.7 -4.26 0.00 1.98 3.83莲 花 白 （ C,9） -2.6 -2.9 -3.6 -3.99 0.00 1.85 1.25从 检 验 结 果 看 ， 在 5%的 显 著 性 水 平 下 ， 各 时 间 序 列 都 不 含 有 单 位 根 时 间序 列 是 平 稳 的 .5.1.12.2 模型阶数识别和参数估计经过上述检验后，各时间序列序列满足建立模型的需要，可以构建 ARMA 模型。模型构建主要是对阶数进行识别和对参数进行估计。对于模型阶数的识别，通过时间序列的自相关和偏自相关系数拖尾和截尾的性质 进行判断。利用 EViews 软件分别绘制 5 种蔬菜的自相关和偏自相关图，如图 2 至图 6 所示