复变函数与积分变换1.doc

1、习题一解答A 类1求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（1） i23； （2） i13； （3）2i54； （4） ii218解 （1） iii所以 i231Re， 132iIm,i12i3， i22，ki31argi31Arg,210,2ctn（2） i,5i1i)(i1i13i 所以 ,23i1Re5iIm25i3i1， 23423i1，kiargiArg21035ctn.（3）4i762i42i54 1376所以 272i54Re，133Im，li272i542952i43， kk276arctnargi2543Arg ,10,176ctnk.（4） i4i4ii102218 3

2、所以 3iiIm1,iiRe21828 341， 0|4|2kiargkiiargiiArg21828 = .,ctn2如果等式 i13i5yx成立，试求实数 x, y 为何值。解 由于 3i5i1i343y51xyx5i8i341比较等式两端的实、虚部，得 185yx或 523yx解得 1,yx。3求复数 zw（复数 ）的实部、虚部和模。 2221Im11 zizzz所以 2Rezw1ImI. zzzwRe214求i3214的模。解 2502|i3|1|4i 5若 1|,|ba，试证：1ba。解：0| 2222 ba然而 baba1|1| 22 222 | baba1|0|122a即 1b6

3、将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i； （2）-1； （3）1+ i； （4） 0isnco； （5） i1； （6）32isnco5解：（1）2iei2；（2） isnco1（3）3i2eisn3co2ii ；（4） 2icossniisinicos1 )(0,e2iisn2co2i i；（5）1ii1i12i 4isnco= 4ie2（6）i19ii103i2i5 e/e/isn3co5 isn9co17当 1|z时，求 |az的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。解：由于nn，且当 ezrgi时，有|aa|aea|znn 11rgirgiargi故 |1a为所求。8一个复数

4、乘以-i，它的模与辐角有何改变？解：设复数 zezArgi，则 2Argi2iArgi zz|eei，可知复数的模不变，辐角减少 2。9如果多项式 nzazazP210 的系数均为实数，证明： zP。证 事实上 nn zaz 210210 zPaza10试求下列各式的 x 与 y(x, y 都是实数) 。（1）(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i;（2） i5i62;（3） baiyx。解 （1）由(1+2i)x +(3-5i)y=1-3i，可得i3152i3yxx因此 154352yyx（2）由 i1i62yx可得 i yxyx因此 21356112 yyxyx和（3）由 babayxi

5、iii可得xyi22因此 2|22abybxya；其中若 b0，取同号，若 b0，取异号。11已知两点 1z与 2（或已知三点 321,z）问下列各点位于何处？（1） （2） 21zz（其中 为实数） ；（3） 321zz。解 令 ,ikyxk，则（1） 211z，知点 z 位于 1与 2z连线的中点。（2） 1212iyx，知点位于 1与 2z连线上定比 |z12处。（3） 3131z ，由几何知识知点 z 位于 31z的重心处。12求下列各式的值（1） 5i； （2） 6i； （3） 61； （ 4） 31i解 （1）/5i5/i55 23i3 eei/6316isncos2（2）8ie2

6、i1i1 /23/4i66 。（3） 5,0,1ke/612i6i6。可知 61的 6 个值分别是,i3/iie/2， 2i3/ie/6i7， 3i，41ie。（4） keek24i64i2ii。可知 31i的 3 个值分别是 ,127sinco2,i61/7i62/i e45i4/5i。13指出下列各题中点 z 的存在范围，并作图。（1） 6|i|z；（2） 1|i2|；（3） 1Re；（4） 3Re；（5） |i|i|；（6） 4|z（7）z；（8）12z；（9） 3/|arg|z；（10） 4iargz解：（1）以点 i0为心，半径为 6 的圆周（见下图（a ） ） ；（2）以点 2为心

7、，半径为 1 的圆周及外部（见下图（b） ） ；（3）由于 1Re2yxz知点 z 的范围是双曲线 12yx及内部（见下图（c） ） ；（4） xyxzi)i(i，故 .3)iRe(yz知点 z 的范围是直线 y=3（见下图（d） ）；（5） 1i)i()i(iiii222 zzzzz（ .00)Re(012 yz知点 z 的范围是实轴（见下图（e） ） ；（6）2222 14)(12)14(343 zxxzzz)012yxyx（，即点 z 的范围是以（-3,0）和（-1,0）为焦点，长半轴为 2，短半轴为 3的一椭圆（见下图（f） ） ；（7）z，即点 z 的范围是以原点为心， 31为半径的

8、圆的外部（见下图（g） ） ；（8） 93)2()(32312 zzzzz.542 xz即点 z 的范围是直线5x以及 x为边界的左半平面（见下图（h） ） ；（9）两条以原点为出发点的射线 3argz为边界所夹区域，不含边界（见下图（i） ） ；（10）是以 i 为起点的射线 0,1xy（见下图（j ） ） ；iOyxyx-2iiO(a)(c)y3ixO(d)(b)xyz-iiyxi3-2y5/2 x(e)yxO-1 1x14描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，单连的还是多连的。（1） 0Imz； （2） 41z； （3） 1Re； （4） 2i3；（5） 3；

9、 （6） argz；（7） 4z； （8） 21；（9） 1Re； （10） 4)i6()i(zz。解 （1） 0Im不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。y1/3xy /3- /3Oy=x+1iyO(f)(g)(h)(i)(j) OOxyOx（2） 41z圆 16)(2yz的外部（不包括圆周） ，是无界的、开的多连通区域。（3） Re0由直线 x = 0 与 x = 1 所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。（4） 2i31z以 3i 为中心，1 与 2 分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、开的多连通区域。（5） 13xzyOA xAyi2i3iO xyxDO-1xy5O 1直线 x = -1 右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。（6） 1argz由射线 1及 构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域。（7）221581574yxz中心在点 157z，半径为 158的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内） ，是无界的、开的多连通区域。（8） 23z是以点 21z为中心， 与 23分别为内、外半径的圆环所围的区域，包括边界在内，xy argz=1O xD8/15-17/15yx3/21/2yD