1、2.2 多维随机变量联合分布列和边际分布列一、 多维随机变量及其联合分布列1、 定义定义 1.设 是样本空间 上的 n 个离散型随机变量，则称 n 维向量（）是 上的一个 n 维离散型随机变量或 n 维随机向量。对于 n 维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不仅能研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们之间的联系。下面主要讨论二维离散型随机变量。设（ ）是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为（ ）i,j=1,2i,j=1，2,注意= 。称 = i,j=1,2为二维随机变量（ ）的联合分布列。与 一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随
2、机变量的联合分布用下面表格形式表示2.联合分布的性质容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：1）非负性： i,j=1,22）规范性： 3) 二边际分布（边缘分布）设（ ）为二维离散型随机变量，它们的每一个分量 的分布称为（）关于 的边际分布，记为 与 。 若（ ）的联合分布为 i,j 则 = =由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布（反例在下面举）。大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列 的右方加了一列，它将每一行中的 相加而得出 ，这就是 的分布列;相应地在( )下面增加一行,它把每一列中的 对 i 相加而得到 恰好就是 边际
3、分布列,这也是边际分布列名称的来历。即例 1. 设把三个相同的球等可能地放入编号为 1.2.3 的三个盒子中，记落入第1 号中球的个数为 ，落入第 2 号盒子中球的个数为 ，求（ ）的联合分布列及 的边际分布列。解： 的可能取值为 0.1.2.3（首先确定（ ）的所有可能取值（ i,j）然后利用 ch1 知识计算概率 。当 i+j3 时 =所以（ ）的联合分布列0123例 2. 把 3 个白球和 3 个红球等可能地放入编号为 1.2.3 的三个盒子中，记落入第 1 号的盒子中的白球个数为 ，落入第 2 号盒子中的红球的个数为 ，求（ ）的联合分布列和边际分布列。解：（ ）的可能取值为（i,j=
4、0.1.2.3）显然有 , i=0.1.2.3比较例 1 和例 2 可以发现两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际分布列不能唯一确定联合分布列，也就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，由此也就说明了研究多维随机变量的作用。例 3. 袋中装有 2 个白球和 3 个黑球，现进行有放回（无放回）摸球，每次从中任取一只，取两次，令 = =求( ) 的联合分布列与边际分布列：解: 无放回；( ) 的联合分布列为0 1 2 30123有放回；( ) 的联合分布列为1 2 12三、随机变量的独立性1 2 12定义 3：设随机变量 的可能取值为 , 的可能取值为如果对任意的 有：成立 则称随机变量 与 相互独立。两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响，随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。定义 4：设 是 n 个离散型随机变量， 的可能取值为 ， 如果对任意的一组 ， 恒有成立则称 是相互独立的。例 4：在 n 重贝努里试验中，令则 的可能取值为 1 或 0，对 或 0 （ ）容易验证有 成立， 所以 是相互独立的随机变量。由随机变量独立性的定义，要证明两个随机变量是相互独立的，则要证明对( ) 的所有取值，都有 。 若其中有一对值不满足这个条件，则 与 不独立。
