空间角与距离的计算与证明.PPT

1、2008年湖北黄冈中学,第一课时：,空间角,第一课时：,空间角,课前导引,1. 四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=_.,第一课时：,空间角,课前导引,1. 四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=_.,解析 EFG中，EFG=60或120，则EG=2或 .,第一课时：,空间角,课前导引,2. 两异面直线a, b所成角为60，过空间一点P作与a、b都成25（或30或40或60或80或90）的直线，分别可作_条.,2. 两异面直线a, b所成角为60，过空间

2、一点P作与a、b都成25（或30或40或60或80或90）的直线，分别可作_条.,答案：0、1、2、3、4、1.,考点搜索,1. 掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；2. 能熟练地在图形中找出相关的角并证明；3. 能用向量方法和非向量方法进行计算；,考点搜索,链接高考,例1（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离为 ( ),链接高考,例1（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离为 ( ),B,链接高考,例1（200

3、7年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点. 那么异面直线OE和 所成的角的余弦值等于 ( ),例1（2007年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点. 那么异面直线OE和 所成的角的余弦值等于 ( ),解析 利用空间向量求解较简便.,例1（2007年天津卷）在棱长为2的正方体中中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点. 那么异面直线OE和 所成的角的余弦值等于 ( ),解析 利用空间向量求解较简便.,B,例2 （2006湖南卷）已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴O

4、O1折成直二面角，,() 证明：ACBO1；() 求二面角OACO1的大小.,法一,法二,例3（2005全国卷一）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC， 底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的中点. () 证明：面PAD面PCD； () 求AC与PB所成的角；,() 求面AMC与面BMC所成二面角的大小.,() 求面AMC与面BMC所成二面角的大小.,法一,法二 如图建立空间直角坐标系,(III) 在MC上取一点N(x，y，z), 则存在R使,方法论坛,1. 两条异面直线所成的角：平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角

5、，则取其补角；先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角. 或者说，若cosx，则这两条异面直线所成的角为 arccos|x|.,方法论坛,2. 直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角 ，而所要求的角为,3. 平面与平面所成的角:“一找二证三求”. 一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角. 射影面积法：要注意所求角为 或 ；, 向量法: 先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或 . 或者先求出二面角的平面角的

6、两边的方向向量所成的角 ，而二面角的大小为 或 .,注意：(1) 在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.(2) 用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“ 就是所要求的角”的句子.,长郡演练 B组,长郡演练 B组,解析,第二课时：,空间距离,课前导引,第二课时：,空间距离,1. RtABC两直角边BC=3，AC=4，PC面ABC，且PC= ，则点P到斜边AB的距离为_.,课前导引,第二课时：,空间距离,1. RtABC两直角边BC=3，AC=4，PC面ABC，且PC= ，则点P到斜边AB的距离为_. 简评

7、先利用三垂线定理找出点P到AB的垂线段.,课前导引,第二课时：,空间距离,1. RtABC两直角边BC=3，AC=4，PC面ABC，且PC= ，则点P到斜边AB的距离为_. 简评 先利用三垂线定理找出点P到AB的垂线段.,3,课前导引,第二课时：,空间距离,2. 正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_.,2. 正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_.,简评 线段AB、CD的中点连线即为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异面直线AB、CD的距离.,2. 正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD

8、上，则|PQ|的最小值是_.,简评 线段AB、CD的中点连线即为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异面直线AB、CD的距离.,链接高考,例1（2004年全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离为( ),链接高考,例1（2004年全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 ，则球心O到平面ABC的距离为( ),B,链接高考,例2（2007全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个,例2（2005全国卷二）不共面的四个定点

9、到平面的距离都相等，这样的平面共有 ( ) A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个,D,例2（2006年江苏卷） 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP. (I) 求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)； (II) 设O点在平面D1AP上的射影是H,求证：D1HAP； (III) 求点P到平面ABD1的距离.,解析,在线探究,1. (高中数学教材第二册下B第51页) 已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求直线DA与AC的距离.,在线探究,1. (高中数学教材第二册下B第51页)

10、 已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求直线DA与AC的距离.,在线探究,分析：如果能找到DA与AC的公垂线段，则用非向量方法也可，只需解直角三角形. 下面提供向量的两种解法.,法一 设PQ为AC与DA的公垂线段,且AP=x，AQ=y，则,法二 如图建立直角坐标系. 设PQ为AC与DA的公垂线段，点P和Q坐标分别为，则,方法论坛,重点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离.,1. 两点的距离： (1) 通常构造直角三角形解决；,方法论坛,2. 两条异面直线的距离: (1) 如果已经找到或者容易找到

11、两条异面直线的公垂线，则转化成求公垂线段的长度； (2) 向量法：利用公式(其中A、B分别为两条异面直线上的一点， 为这两条异面直线的法向量）,3. 点到平面的距离: (1)“一找二证三求”. 一找：找到经过这个点与平面垂直的线段；二证：证明这条线段与平面垂直；三求：一般通过解直角三角形求出点到平面的距离. (2)等体积法.,(3) 向量法：利用公式(其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点， 为这个平面的法向量 ）,注意 (1) 在求距离时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，或者比较容易将其他向量用三个不共面向量来表示，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便. (2) 用非向量方

12、法求距离时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“线段OA的长度即为点O到平面的距离”的句子.,长郡演练 B组,1. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2. 求证： (1) 平面PDC平面PAD； (2) 若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦； (3) 在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值，如果不存在，说明理由.,长郡演练 B组,解析 (1) 证CD平面PAD；,(2) 取CD中点F，用余弦定理求得 , 则异面直线AE与PC所成角的余弦为,(3) 若存在，设BG=x，利用VP-AGD =VD-PAG，求得 . 所以当时，D点到平面PAG的距离为1.,