1、第二章 平稳随机过程的谱分析 77第二章 平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题： 随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间信号 x(t)，设 x(t)是时间 t 的非周期实函数，且 x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则 x(t)傅里叶变换存在。即：满足上述三个条件的 x(t)的傅里叶变换为：随机信号分析与应用 78其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以得到： 称为非周期性时间
2、函数的帕塞瓦(Parseval)等式。物理意义：若 x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表 x(t)在时间(- , )区间的总能量（单位阻抗） 。因此，等式右边的被积函数表示了信号 x(t)能量按频率分布的情况，故称2(X为能量谱密度。2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？第二章 平稳随机过程的谱分析 79随机信号持续时间无限长，因此，对于非 0 的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。为了将傅里叶
3、变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。截取函数 (t):Tx图 2.1 (t)及其截取函数x当 x(t)为有限值时，裁取函数 (t)满足绝对可积条件。因此，T(t)的傅里叶变换存在，有Tx很明显， (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表Tx达式的变化）随机信号分析与应用 80用 2T 除上式等号的两端，可以得到等号两边取集合平均，可以得到:令 ，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。T交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用) dTXEdtXETT2),(l
4、im21)(21lim上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均） ，以后我们将简称它为随机过程的功率并记为 Q。再看等式的右边，它当然也存在，并且等于 Q。又因为 非负，所以极限 必2),(TXTXET2),(li定存在，记为 ：SdSdtEXT)(1)(21lim2注意：（1）Q 为确定性值，不是随机变量第二章 平稳随机过程的谱分析 81（2） 为确定性实函数。 （见式）)(XS 两个结论：1 )(2tEAQ式中， 表示时间平均。它说明，随机.1lim.T过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程
5、）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然， Q 不是随机变量。若随机过程为平稳的，则 )0()()(22XRtEtXAQ这是因为均方值与时间 t 无关，其时间平均为它自身。由于已经对 求了数学期望，所以 不再具有2),(TX)(XS随机性，它是 的确定性函数。 功率谱密度： 描述了随机过程 X(t)的功)(XS率在各个不同频率上的分布称 为随机过程 X(t)的功率谱密度。 对 在 X(t)的整个频率范围内积分，便可)(得到 X(t)的功率。 对于平稳随机过程，则有：dStXEX)(21)(随机信号分析与应用 822.1.3、功率谱密度的性质证明：第二章 平稳随机过程的谱分析 83证明
6、：因为 进行了取模运算，这是 的实函数，所以2),(TX也是 的实函数，且为确定性实函数。)(S证明：因此：即：得：随机信号分析与应用 84证明：对于平稳随机过程，有： dStXEX)(21)(2.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度2.2.1、互谱密度可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法推广而来。考虑两个平稳实随机过程 X(t)、Y(t) ， 它们的样本函数分别为 和 ，定义两个截取函数 、 为：)(txytxTty因为 、 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶txTty变换存在。在时间范围(-T，T)内，两个随机过程的互功率 为:（注)(TQXY第二章 平稳随机过程的谱分
7、析 85意 、 为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）txTty由于 、 的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们txTty也适用，即:注意到上式中， 和 是任一样本函数，因此，具)(txy有随机性，取数学期望，并令 ，得： T)(21lim)(limdtyxEQETXYYT ),(21lidtRT dYXT2),(li*定义互功率谱密度为：随机信号分析与应用 86得：同理，有：又知以上定义了互功率和互功率谱密度，并且导出了它们之间的关系。2.2.2、互谱密度和互相关函数的关系平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度之间也存在着类似关系。定义：对于两个实随机过程 X(t)、Y(t) ，其互谱密度 与)(XYS互相关函数 之间的关系为),(tRXY若 X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
