1、第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定方法 如果函数 在 上单调增加（单调减少） , 那么它的图形是一条沿 轴正向上升（下降）的曲线 . 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的） , 即 (或 ) 由此可见 , 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系 . 反过来 , 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理 (函数单调性的判定法 ) 设函数 在 上连续 , 在 内可导 . (1)如果在 内 , 那么函数 在 上单调增加 ; (2)如果在 内 , 那么函数 在 上单调减少 . 证明 只证 (1)（ 2）可类似证得） 在 上任取两点 , 应用拉格朗日中值 定理 , 得到
2、 . 由于在上式中 , 因此 , 如果在 内导数 保持正号 , 即 , 那么也有 , 于是 从而 ，因此函数 在 上单调增加 . 证毕 例 3-19 判定函数 在 上的单调性 . 解 因为在 内 , 所以由判定法可知函数 在 上单调增加 . 例 3-20 讨论函数 的单调性 . 解 由于 且函数 的定 义域为 令 , 得 , 因为在 内 , 所以函数 在 上单调减少 ; 又在内 , 所以函数 在 上单调增加 . 例 3-21 讨论函数 的单调性 . 解 : 显然函数的定义域为 , 而函数的导数为 所以函数在 处不可导 . 又因为 时 , , 所以函数在 上单调减少 ; 因为 时 , , 所以函
3、数在 上单调增加 . 说明 : 如果函数在定义区间上连续 , 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 , 那么只要用方程 的根及导数不存在的点来划分函数 的定义区间 , 就能保证 在各个部分区间内保持固定的符号 , 因而函数 在每个部分区间上单调 . 例 3-22. 确定函数 的单调区间 . 解 该函数的定义域为 . 而 ,令 , 得 . 列表 + - + 函数 f(x)在区间 和 内单调增加 , 在区间 上单调减少 . 例 3-23 讨论函数 的单调性 . 解 函数的定义域为 函数的导数为 : , 除 时 , 外 , 在其余各点处均有 因此函数 在区间上单调减少 ; 因为当 时 , , 所
4、以函数在 及 上都是单调增加的 . 从而在整个定义域内 是单调增加的 .其在 处曲线有一水平切线 . 说明 :一般地 , 如果 在某区间内的有限个点处为零 , 在其余各点处均为正（或负）时 , 那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 . 例 3-24 证明 : 当 时 , . 证明 : 令 , 则 因为当 时 , , 因此 在 上单调增加 , 从而当 时 , ,又由于, 故 , 即 , 也就是 ,( ). 二、函数的凹凸性与拐点 在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示， 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义 3-6-1 设
5、在区间 I 上连续 , 如果对 I 上任意两点 , 恒有 那么称 在 I 上的 下凸函数 ; 如果恒有 那么称 在 I 上的 上凸函数 . 函数的上凸下凸的性质叫做 函数的凸性 二、判定函数的凸性的充分条件 定理 设 在 上连续 , 在 (a, b)内具有一阶和二阶导数 , 那么 (1)若在 内 , 则 在 上是下凸的 ; (2)若在 内 , 则 在 上是上凸的 . 证明 只证 (1)(2)的证明类似 ). 设 , 记 . 由拉格朗日中值公式 , 得 , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , 即 , 所以 在 上的图形是凹的 . 拐点 : 连续曲线 上凸与下凸的分界点称为这曲线的 拐点 .
6、 确定曲线 的凹凸区间和拐点的步骤 : (1)确定 函数 的定义域 ; (2)求出在二阶导数 ; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 ; (4)判断或列表判断 , 确定出曲线凹凸区间和拐点 ; 注 : 根据具体情况（ 1）、（ 3）步有时省略 . 例 3-34 判断曲线 的凸性 . 解 : 因为 , . 令 得 , 当 时 , , 所以曲 线在 内为上凸的 ; 当 时 , , 所以曲线在 内为下凸的 . 例 3-35 求曲线 的拐点及凸性区间 . 解 : (1)函数 的定义域为 ; (2) , ;(3)解方程 , 得 , ; (4)列表判断 : 在区间 和 上曲线是下凸的 , 在
7、区间 上曲线是上凸的 . 点 和 是曲线的拐点 . 例 3-36 问曲线 是否有 拐点？ 解 , . 当 时 , , 在区间 内曲线是下凸的 , 因此曲线无拐点 . 例 3-37 求曲线 的拐点 . 解 (1)函数的定义域为 ; (2) , ; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ; (4)判断 : 当 时 , ; 当 时 , 因此 , 点 是曲线的拐点 . 拉格朗日中值定理 ： 如果函数 f(x)在（ a， b）上可导， a,b上连续，则必有一 a,b使得 f( )*(b-a)=f(b)-f(a) 示意图 令 f(x)为 y，所以该公式可写成 y=f(x+ x)* x (0 1) 上式给出了自变量取得的有限增量 x 时，函数增量 y 的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
