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求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形.doc

1、求证两角平分线相等的三角形是等腰三角形已知:ABC 中,BE 平分ABC,CF 平分ACB,求证:ABAC己知 在ABC 中,BE,CF 是B ,C 的平分线,BE=CF。求证:AB=AC. 证法一 设 ABAC,不妨设 ABAC,这样ACBABC,从而BCF= FCE=ACB/2ABC/2=CBE=EBF。 在BCF 和CBE 中,因为 BC=BC, BE=CF,BCF CBE. 所以 BFCE。 (1) 作平行四边形 BEGF,则EBF= FGC,EG=BF,FG=BE=CF ,连CG, 故FCG 为等腰三角形,所以FCG=FGC 。 因为FCEFGE,所以ECGEG=BF. (2) 显然

2、(1)与(2)是矛盾的,故假设 ABAC 不成立,于是必有AB=AC。 证法二 在ABC 中,假设BC ,则可在 CF 上取一点 F,使FBE=ECF,这有 CFCF。 延长 BF交 AC 于 A,则由BAE=CAF,有 ABE ACF. 从而 AB/AC=BE/CFBE/CF=1. 那么在ABC 中,由 ABAC,得: ACB ABC,即C( B+ C)/2 ,故BC 。 再由假设BC,即有B=C。 所以ABC 为等腰三角形。斯坦纳-雷米欧司定理: 设在三角形 ABC 中,有 B、C 的角平分线 CF、BE 交于 O BE 是角平分线推出:BC/CE=AB/AE ,同理:BC/BD=AC/A

3、D,因为 BD=CE,所以等量代换得出: OF EAB CAB/AE=AC/AD,角 A 是公共角,所以三角形 ACD 与 ABE 相似,所以 LACD=LABE,同理 LBDC=LBEC,再加上 BD=CE,所以三角形 BOD 全等于三角形 OEC,所以 OB=OC且 LDBE=LECD,OB=OC 推出 LOBC=LOCB,再等量代换得到 LABC=LACB,所以AB=AC 注:“L“为角的符号说是有十三种证法三角形 ABC 内底角 B 和 C 的角平分线交 AC 和 AB 于点 E 和点 D,假设角 B 大于角 C,作与角 ACD 相等的角 EBF 交 CD 于点 F,交 AC 于点 G

4、,由于同一个三角形中大角对大边,又因为角 GBE 加二分之一角 ABC 大于角 ACB,所以 GC 大于 GB,由于两个对应角相等,三角形 GBE 与三角形 GCF 相似,则 CF 大于 BE,因为 CD 等于 BE,CF 是 BE 中的一部分所以假设不正确。同理可证角 ACB 不大于角 ABC,所以只有一种可能即角 ABC 等于角ACB。 (请自己准确作图我没空作图!) 应该对的、求证:AB=AC 证明一:设 ABAC,于是角 ACB角 ABC 角 BCF=FCE=ACB1/2 角 ABC=CBE=CBF 在三角形 BCF 和三角形 CBF 中 BC=BC BE=CF 角 BCFCBE 所以

5、 BFCE 作平行四边形 BEGF,则角 EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接 CG,三角形 FCG 为等腰三角形 则角 FCG=FGC 因为角 FCEFGE 所以角 ECGEG=BF 显然1 2矛盾 同理 ABAC 矛盾 则 AB=AC 证明二:引证:若三角形 AD 为角平分线,则 BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c) 由斯特瓦尔特定理得:c2(ab/(b+c)+b2(ac/(b+c)-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则 AD2=bc(1-(a/(b+c)2) 三角形 ABC 中 BE CF 为角 B C 的平分线 由 BE=CE 得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以 a(a+b+c)(a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0 所以 b=c您好,很高兴为您解答,OutsiderL 夕为您答疑解惑如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳,手机客户端右上角评价点满意即可。如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助,答题不易,请谅解,谢谢。祝学习进步

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