1、线性与非线性泛函分析- 1 -习题 11.(张燕石淼) 设在全体实数 上，定义两个二元映射 和(2) R2(,)xy，证明(1) 不是度量空间；(2) 是度量空间(,dxy(,),dR2.(范彦勤孙文静)设 为度量空间， 为严格单调函数，且满足X,:f0,+,，令 ，证明 为度量空,xyf0+,()=()()fxyfy()()dxyfxyXd(,)间3. (武亚静张丹)设 为度量空间，证明 有Xd(,),zwX(,)(,)(,)(,)xzdyxyd4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为 ，对于123,.,.|,12,.nixR及 ，定义 证明 为123(,.,.)nxx12(,.,)nyy
2、1(,)kkydyXd(,)度量空间5.设 为 和 组成的 维有序数组，例如 ，对()Xn01n(3)0,01,0,1X于任意的 ，定义 为 和 中取值不同的个数，例如在 中，,xy(,)dxy (3)X， 证明 为度量空间(10)d(01,013(),nd6.(苏艳丁亚男)设 为度量空间， 且 证明 是开集当且仅当 为开球X)AXAA的并7.(张振山赵扬扬)设 和 是两个度量空间那么映射 是连续映射当且d(,)Y(,) :fXY仅当 的任意闭子集 的原象 是 中的闭集YF1fX8.(王林何超) 设 与 是度量空间 的两个 Cauchy 列证明 是收nxnyd(,) ,nnadxy敛列9.(李
3、敬华孙良帅)设 和 是两个度量空间，在 上定义度量Xd(,)Y(,)XY，其中 ， 为正数证1212121(,),ppxyxy12(,),xy1p明 是完备空间当且仅当 和 均是完备空间XYd(,)Y(,)10.(李秀峰钱慧敏)设 是完备的度量空间， 是 中的一列稠密的开子集，X1nGxX第一章 习题- 2 -证明 也是 中的稠密子集1nGX11.(王胜训闫小艳)设 ，证明 是列紧集当且仅当 是有界集nARA12 (冯岩盛谢星星)设 为度量空间， 且 证明d(,)AX（1） 是 的开集|,xXxX（2） 是 的闭集，其中 |,()dA013.(李小伟周新慧)设 为定义在 上的所有有界函数，若
4、，定义,Bab,ab(),xtyBab，求证 为 的度量及 为 的闭集,(,suptabdxyxtyd,Cab,B14.(陈明徕孙潇洋)设 为度量空间， 且 若 为紧集，则存在,xAXA使得 其中 0,xyA0(),)diamy,()sup(,)xydiamd15.(张秀芳张银利)设 为度 量空间，令 ，证明 为完备,X, (,),1xyd(,)Xd度量空间当且仅当 为完备度量空间(,)16.(常铮岳晓鹏)设 ，定义 ，证明 为 上的度量， 不为,xyz+Z1(,)dxyd+Z(,)d+Z完备度量空间， 表示正整数集+17.(王文生李科莹)设 为度量空间， 且 ，定义 证(,)XdAX(,)i
5、nf(,)yAxx明 有 ,xyX|(,),|(,dxAyxy18.设 为完备的度量空间，点列 ，如果 ，存在 的一个基本列 ，, n0Xny使得 证明 收敛(,)ndxynx19.设 为为紧的度量空间， 为 的一列非空闭子集，且XnAX1231nA 证明 1nA20.设 为完备的度量空间，映射 设 ， 为两个度量空间， 为(,)Xd(,)Xd(,)Y:fXY单射，证明 是连续映射的充要条件是 把 中的任一紧集映成 中的紧集f f21.设 均为度量空间， 为连续映射，若 是 的稠密子集，则 是,Y:fXYA()fA的稠密子集()f22.设 都是度量空间 中的紧集，则必存在 ，使得12,F(,)
6、d0102,xFy0(,)dxy线性与非线性泛函分析- 3 -，其中 称为 与 的距离12(,)dF1212(,)inf(,),dFdxyF1F223.设 是度量空间 中的两个子集，其中 是紧集， 是闭集，若,X则必存在 12(,)0012x24.设 为完备的度量空间，映射 满足： 且 有(,Xd:AX,xyXy(,)(,)dxy若知 有不动点，那么此不动点是惟一的A25.设 是 中的有界闭子集， 且 ，映射 满足M(,)ndR,Mxy:AM，证明 在 中存在惟一的不动点(,)dxyA26.证明有界数列空间 是完备的度量空间(距离的定义： )l (,)sup|iiidxyxy27.证明在 维欧氏空间 中点列收敛等价于按坐标收敛即如果nnR，其中 ，及 ，那么()()12,iiixx (1,2,)i (0)(0)12,nxx（ 等价0()i12()(0)01(,)|()nii jjjdxi于 ()()(,2)ijjxi
