1、拉、压静不定问题的三种方法对比- 姚琪 运载船舶与海洋工程 0905 班 200971006工程实际中为了提高结构的强度和刚度，除了选择合理的截面形状、加大截面尺寸外，常常在静定结构中再附加某些约束，这样就构成了静不定结构或超静定结 构。摘要：建立拉压静不定问题的变形协调条件是材料力学和工程力学教学的一个难点，本文对现行教材及教学中存在的问题，提出了建议的教学方法供探讨。关键词：拉压杆静不定问题，变形协调条件，几何分析，小变形力学性质。1 拉压静不定杆的三种分析方法 求解拉、压杆静不定问题，除了根据静力平衡条件列出平衡方程外，还必须寻求其变形协调条件，进而依据力和变形之间的物理条件建立补充方程
2、，这是分析静不定问题的基本方法 如图 1 所示，1，2 ，3 三杆在 A 点铰接，这是典型的一次静不定问题。设 1 ， 2 两杆的抗拉刚度相同，由于桁架左、右对称，加力 P 后节点 A 垂直移动到 A1 。图中的虚线表示杆件变形后的位置。方法一： 如图 l ( a )所示，位移 AA1 是杆 3 的伸长 l3.在小变形条件下，由 A 点作 A、B 的垂线得到 1 杆的伸长 l1,且近似认为AA1B =。于是 l1=l3cos。这便得到了 1 , 2 ，3 三个杆件的几何变形协调方程。 方法二： 如图 l ( b )所示，设杆 3 的伸长仍为 l3。在小变形的条件下，由 A1 点作 AB 的垂线
3、得到 1 杆的伸长 l1 。于是很直观地得到 l1=l3cos。方法三： 如图 4 所示，将杆 3 切开，在切口两端待以相应的多余未知力X1，即杆 3 的轴力，相当系统如下图，由立法正则方程11+1F=0，此式表明切口两端沿 X1 方向的相对位移等于 0。在静定基上加上与 X1 相对应的一对单位力，由节点 A 处的平衡方程的F31=1,F21=F11=1/2cos，l3=l1cos=l2cos,有单位载荷法求便可得11、1F，代入立法正则方程求得 X12 三种分析方法的力学本质讨论 现在我们来探讨上述两种拉、压杆小变形几何分析的力学本质。如图 2 所示，设 A B 杆在荷载作用下移动到 AB位
4、置，此杆件位移包括方位改变所引起的刚体位移和轴向变形所引起的位移。以 A 点为圆心，以杆件原长为半径画圆，交 AB 于点 B1，在小变形条件下，用 AB 的垂线 BB1 来代替圆弧 BB1；则 B1B之间的长度即是 AB 杆件的伸长l，如图 2 ( b ) 所示。此方法以杆件位移后位置作刚体位移的垂线基准和变形量度的基准，上述第 1 种解法就采用此分析方法来建立了 3 杆桁架的几何变形协调方程。另外一种分析方法如图 2 ( c ) ， 以 A 为圆心，以 AB 为半径做圆弧交 AB 的延长线于 B2 点。同样在小变形条件下，我们用垂线来代替圆弧。则 BB2 就是 AB 杆件的伸长 l 。这是以
5、变形前位置为垂线和变形量度的基准此时的变形几何条件是很容易描述的。上述后一种解法就是基于这种分析方法来求解的。上述分析说明，如果以变形后位置来量度杆件所发生的微小变形，那么我们在用垂线代替圆弧时，就必须垂直于杆件变形后所在的位置。而如果以变形前位置作为变形量度基准，那么在用垂线代替圆弧时，就必须要垂直于杆件变形前的位置，这即是小变形分析方法的力学本质而如果学生对此不了解，就会出现图 3 ( a ) ， 图 3 ( b ) 所示这样的变形量度准与垂线基准不统一的错误做法注意到当 l1=0 ，即杆件只有刚体位移而没有变形时，如图 3 ( c ) 。它也是以变形前的位置为垂线和变形量度基准的。 方法
6、三是根据能量法，虚位移原理，单位载荷法来求解的，静不定结构首先取消约束，代之以多余未知力 X1，接着用立法正则方程求解多余未知力，便可在静定的相当系统上根据平衡方程求出其他未知力，并可进一步计算内力、变形等。3 现行教材中存在的问题及建议的教学方法 现行教材中介绍的两种分析方法的共同点都只是从数学几何的角度出发，用直线代替圆弧线来建立变形的几何条件。这并不是方法的难点和学生学习的困惑，学习的难点是小变形分析方法的力学本质。而现行教材的两种分析方法都没有明确方法的力学本质。第 1 种分析方法的力学本质是以变形后的位置作为变形量度基准，这一方法被广泛用于力学中的大变形几何非线性分析。该方法用于工程
7、力学、材料力学中静不定问题的分析之缺点是由于图形分析需要放大其小变形使得杆件方位产生较大变化，而建立在直观几何上的思维对角度变化极为敏感，这样当遇到较为复杂的静不定问题时，就不能正确地建立起变形的几何条件。第 2 种方法的力学本质是以变形前的位置作为变形量度的基准，这一方法被广泛用于力学中的小变形几何分析，该方法用于工程力学、材料力学静不定问题的分析之优点是容易根据直观的图形分析建立变形的几何条件。其实工程力学和材料力学中对变形固体的基本假设之一即是小变形假设，笔者认为这一假设的核心包括以变形前的位置作为分析杆件变形的基准，和用变形前的位置取代变形后的位置进行静力平衡分析。拉、压杆静不定问题的
8、几何分析是材料力学教学中的一个难点，由于各个教科书中方法的不统一，又没有说明方法的力学本质在实际教学中，很多学生对这一问题的分析方法模糊不清，特别是对于较为复杂的静不定问题，欲寻求变形几何关系时常常无从下手。经过多次研究推敲，笔者建议讲授第 2 种分析方法来解决拉、压杆静不定问题，同时要说明方法的力学本质，让学生建立变形量度基准的概念。实践表明：基于这一概念分析拉、压杆静不定问题的变形是行之有效的方法。 4 结束语 本文基于变形几何分析方法的力学本质，分析了现行教材及教学中，在建立拉、压静不定问题的变形几何条件时所存在的问题。实践表明：用基于此概念的方法来分析拉、压杆静不定问题时，几何关系明确，其变形协调条件容易建立。根据单位载荷法，能量法来求解未知力，殊途同归，虽然采用不同的思路，但是都可以解决问题，我们要发散思维，在力学的大海中自由航行。参 考 文 献1 刘鸿文。材料力学（上册） 。北京：高等教育出版社，1 9 9 2 2 王守新。材料力学（第三版）大连理工大学出版社，2011
