1、求不定积分的方法及技巧小汇总1.利用基本公式。 （这就不多说了）2.第一类换元法。 （凑微分）设 f()具有原函数 F()。则 CxFdxfdxf )()()( 其中 可微。)(用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例 2：例 1： dxx)(lnl【解】 )1(1ll x Cxxddxx 2)ln1(l2)lnln)(l)1(lnl例 2： 2)ln(【解】 xxl1Cxdln1)l()(223.第二类换元法：设 是单调、可导的函数，并
2、且 具有原)(tx )(.0)( tft又 设函数，则有换元公式 dttfdxf)()(第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： achtxtxtaxstt；： ；： ；： ssec)3( on2i)1(22 也 奏 效 。， 有 时 倒 代 换当 被 积 函 数 含 有： txcbxatdcxbmnn 1)6(542 4.分部积分法.公式： dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取 时，通常基于以下两点考虑：、（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧！例 3： dxx21arc
3、os【解】观察被积函数，选取变换 ,则xtarcos tddttdx3323 )sin(ico1arcsCxxxtttt dttttdarcos1)2(3919cossin3cs)1i3(1nssin3)si31()(2322例 4： xd2arcsin【解】 dxx222 1arcsinsii Cxxx dxx2arcsin12arcsin1iarci 222上面的例 3，降低了多项式系数；例 4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在 中， 的选取有下面简单的规律：dd、选 取 的 函 数 不 能 改 变 。，会 出 现 循 环 ， 注 意， ， )3(s
4、in,co)(art,ln2c,i)()1( xePxePa mxm将以上规律化成一个图就是： （lnx arcsinx） Pm(x)（ax sinx)但是，当 时，是无法求解的。xxarcsinln，对于（3）情况，有两个通用公式： CbxabedxbeIxaxaxx )sinco(cosiin221（分部积分法用处多多在本册杂志的涉及 lnx 的不定积分中，常可以看到分部积分）5.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分有理函数 先化为多项式和真分式 之和，再把 分)(xQP)(*xQP)(*xQP解为若干个部分分式之和。 （对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现 时，记得用递推公式：
5、nnxadI)(2）12122 )(3)(nnn IaI例 5： dxx2346)(【解】 2323462346 )1()()1( x23)1(4x224242322 )1()1()1(4)ln( xdxdxdxC CxCdd)1(1)1()(2 222 2故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式： 2tan1cost2ansi2xxx的积分，但由于计算较化 为 有 理 函 数可 用 变 换 t)cos,(indxQP烦，应尽量避免。对于只含有 tanx（或 cotx）的分式，必化成 。再用待xsincoi或定系数 来做。 （注：没举例题并不xbaBxAsinco)si()is(代表不重要）（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现 时，可令x1和；同时出现 时，可令 ；同时出现tx2anx1和 tx2sin时，可令 x=sint；同时出现 时，可令xrcsi1和 xarcos和x=cost 等等。
