1、 第十九讲 特殊化与一般化 特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题 另外，特殊化、一般化和类 比联想结合起来，更可以由此及彼地发现新命题、开拓新天地 1特殊化、一般化和类比推广 命题 1 在 ABC中， C=90， CD是斜边上的高(图 2-102)，则有 CD2=AD BD 这是大家所熟知的直角三角形射影定理 类比命题 1，如果 CD是斜边上的中线，将怎样？由此得到命题 2 命题 2 在 ABC中， C=90， CD是斜边上的中线 (图 2-103)，则有
2、 CD=AD=BD 这便是大家已经学过的直角三角形中的斜边中点定理 (在此定理中仍保持 CD2=AD BD) 再类比，如果 CD是 C的 平分线，将怎样？于是得到命题 3 命题 3 在 ABC中， C=90， CD是 C的平分线 (图 2-104)，则有 这是一个新命题，证明如下 . 引 DE BC于 E， DF AC于 F 因为 而 我们把命题 1、命题 2、命题 3一般化，考虑 D点是AB上任一点，便产生了以下两个命题 命题 4 在 ABC中， C=90， D是斜边 AB上的任一内分点 (图 2-105)，则有 证 引 DF AC于 F， DE BC于 E因为 CD2-BD2 CE2-BE
3、2=(CE-BE)BC， 而 所以 即 命题 5 在 ABC中 ， C=90， D是斜边 AB上的任一外分点 (图 2 106)，则有 证 只要令命题 4之结论中 AD为 -AD，则有 我们再把命题 4和命题 5特殊化，令 D点与 A点重合(即 AD =0)，那么无论是式或式都有 AB2=BC2+AC2. 这就是我们熟知的勾股定理 命题 4或命题 5与通常形式下的广勾股定理是等效的，因此，它们也可称作广勾股定理下面用命题 4或命题 5来证明以下定理 定理 在 ABC中， AB=c， BC=a， AC=b， a在 c上的射影为 n， 时，取“ -”号， B为钝角时，取“”号 ) 证 我们仅利 用
4、命题 4证图 2-107中的情况 ( B90 ) 为此，我们作图 2-109，其中 DBA=90， CD=x，CE DB于 E，并设 CE=n由命题 4，立得 得 所以 b2=a2+c2-2cn 同理可证图 2-108( B 90 )的相应结论 2特殊化、一般化在解题中的应用 例 1 设 x， y， z， w为四个互不相等的实数，并且 求证： x2y2z2w2=1 分析与解 我们先考虑一个特例，只取两个不同实数，简化原来命 (1)求证这个特殊化的辅助问题就容易多了事实上，因为 又因为 到原命题，由 容易想到变形 去分母变形为 ，并约去 (x-y)(y-z)(z-w)(w-x)(利用 x， y，
5、z， w互不相等 )就得到 x2y2z2w2=1. 例 2 设凸四边形 O1O2O3O4的周长为 l，以顶点O1， O2， O3， O4为圆心作四个半径为 R的圆轮如果带动四个圆轮转动的皮带长为 s，求 s的长度 (图 2-110) 解 (1)先解一个特例 (图 2-111)设只有两个圆轮O1， O2， 2 O1O2 =l显然，带动两轮转动的皮带长度为 s=l +2 R (2)再回到原题， 我们猜想： s=l 2 R 以下证实这个猜想是正确的 为此，设皮带 s与各圆轮接触的四个弧为 由于它们是等圆上的弧，因此，只要证出这四条弧恰好组成一个圆即可 事实上，引 O1A 3 O2A3，由于 O1A1
6、 O2A2，所以 A1O1A O1为圆心，以 R为半径的圆因此，四圆弧之长为 2R又因为 O1O2=A1A2， O2O3=A3A4， O3O4=A5A6，O1O4=A7A8，所以 l A1A2 A3A4 A5A6 A7A8 所以，所求皮带长为 s=l 2 R 例 3 设 a1， a2， an都 是正数试证： 证 欲证成立，先考虑最简单的情形，设 n=3，即证 把变形为 即证 由于中左边有 (a1-a2)， (a2-a3)， (a3-a1)，其和为零，因此，我们猜想：若式左边相加，其和不小于 (a1-a2)，(a2-a3)， (a3-a1)之和即可为此，我们证更简单的事实 设 a， b是任意正整
7、数，则有 事实上，由 (a-b)2 0有 a2-ab ab-b2， 所以 a(a-b) b(a-b)， 根据，显然成立，因为 (a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a1) 0， 从而式成立 ，式成立 剩下来的工作是把式推到一般情形，这是很容易的因为根据，式必然成立，因为 (a1-a2)+(a2-a3)+ +(an-1-an)+(an-a1)=0. 练习十九 1如图 2-112已知由平行四边形 ABCD各顶点向形外一条直线 l作垂线，设垂足分别为 A， B， C，D求证： A B B=C C D D 2在上题中，如果移动直线 l，使它与四边形 ABCD的位置关系相对变动得更特殊一些 (如 l过 A，或 l交 AB，BC等 )，那么，相应地结论会有什么变化？试作出你 的猜想和证明 3在题 1中，如果考虑直线 l和平行四边形更一般的关系 (如平行四边形变成圆，或某一中心对称图形，垂线 AA， BB， CC， DD只保持平行等 )，那么又有什么结论，试作出你的猜想和证明 4如果 ABC 的周长为 40米 (m)，以 A， B， C 三点为圆心，作三个半径为 1米的圆轮，带动圆轮转动的皮带长为 l，试求l的长度
