1、1一元函数微分学（第 2、3 章）一、导数1 导数及左、右导数的概念 0000 00()()()()limli limlimxx h xfxffxffxyf实质：增量比的极限（P.88 第 3 题）2 导数的几何意义（P.86）设函数 在点 处可导，则曲线 在点 处的切线方程为()fx0()yfx0(,)My，00对应的法线方程为 0001()yxf特别地，如果 ，则切线方程 ，即切线平行于 轴0()fx0yx如果 为无穷大，则切线方程 ，即切线垂直于 轴x3 可导与连续的关系可导 左、右导数都存在且相等连续（反之不然，例如 在 处连续但不可导）yx04 求导法则(1) 基本初等函数的求导公式
2、(2) 四则运算的求导法则（P.89 定理 1）(3) 反函数的求导法则（P.92 定理 2）(4) 复合函数的求导法则（P.93 定理 3）(5) 隐函数求导法(6) 对数求导法步骤：取绝对值；取对数；求导适用范围：多个函数的乘积、根式函数、幂指函数(7) 由参数方程所确定函数的求导法则 设参数方程为 ，则 ，且()xty()dytx2 231.()()()dtxdtttt 极坐标表示的曲线的切线（P.110） 切线与切点和极点连线间的夹角（P.110-111 例 11）P.962(8) 高阶导数 ，其中 1nndyyx2 莱布尼茨公式 P.102 公式(3.9)()()0nknkuvCuv
3、(9) 幂指函数 求导的两种方法()vx 利用 及复合函数求导的链式法则求解()()lnuvxe 对数求导法注意：上述方法在 时才适用()0二、微分1 微分的概念 00()()()dyAxyfxfxAoo令实质：把 近似地表示成 的线性函数，即 （线性主部） x2 微分的几何意义（P.119）3 导数与微分的关系可导 可微，且 （P.116 定理 1） ()dyfx4 微分的形式不变性应用：在微分公式中可以作任意的变量代换注意：形式不变性在求导公式中不成立5 微分在近似计算中的作用(1) 0()ydfx(2) （化曲为直，以直代曲）00()ffx6 中值定理名称 条件 结论罗尔定理 在 上连续
4、，()fx,ab 在 内可导， ，()f至少存在 ，使得(,)ab0f3名称 条件 结论拉格朗日中值定理 在 上连续，()fx,ab 在 内可导，至少存在 ，使得(,)ab()faf柯西中值定理 、 在 上连续，()fxg, 、 在 内可导，()f(,)ab ， ，(,)x(0gx至少存在 ，使得(,)()()ffbagg泰勒中值定理设函数 在含有 的某个开f区间 内具有直到 阶(,)ab(1)n连续导数，当 时，有(,)xab()0001)()!knknfxf Rx(1) 几个中值定理之间的关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理泰勒中值定理()fab()gx0n(2) 几个公式 拉格朗
5、日中值公式 P.132 公式(1.1)及(1.2) 有限增量公式 P.133 公式(1.3) 阶泰勒公式 P.144 公式(3.6)及(3.10)n 阶麦克劳林公式 P.145 公式(3.11)及(3.12)（麦克劳林公式是泰勒公式的特殊情形） 常用初等函数的麦克劳林公式 P.147-148(3) 拉格朗日中值定理的两个推论 P.134(4) 两种余项 P.144-145 拉格朗日型余项（ 介于 和 之间）(1)10)!nnnfRxx0x（ ）(1)0010()!n nf 4 皮亚诺型余项 0()nnRxo7 未定式极限与洛必达法则8 函数的性态与导数的应用(1) 函数的单调性与曲线的凹凸性(
6、2) 函数的极值与最值 判断函数极值的理论依据P.156 定理 3（必要非充分条件）P.156 定理 4（充分非必要条件，适用范围：驻点、不可导点）P.158 定理 5（充分非必要条件，适用范围： 且 ）0()fx0()fx说明：不同单调区间的分界点一定是极值点，但反之不然 可能的极值点：驻点、不可导点 可能的最值点：驻点、不可导点、区间端点 函数极值与函数最值的关系极值点一定是最值点 （错误）最值点一定是极值点 （错误）极小值一定小于极大值 （错误）最值在区间内取得，则最值一定是极值 （正确）(3) 渐近线5(4) 弧微分设 表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则（微分三角形）2()0dsxdyco/sin(5) 曲率设 表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则 23/(1)ydKs 直线的曲率处处等于零 半径 为的圆的曲率等于 R1R(6) 曲率圆设 表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则曲率半径 K曲率中心 P.179 公式(7.8)曲率圆的特点：有公切线、凹向一致、曲率相同
