第6章 不定积分练习.doc

1、第 6 章 不定积分1 不定积分概念和运算法则引入：不定积分问题是微分问题的反问题,积分运算是微分运算的反运算,即已知一个函数的导数求这个函数;从几何上讲已知一条曲线的切线斜率求这条曲线的方程; 从物理上讲已知变速直线运动的瞬时速度求运动方程.一. 原函数与不定积分:1 原函数：例 1 填空: ; ( ; ; 21) (x xcos2) 2) (xd; ; . edxxsind arctg .)l(22arctgxarctg定义 1 设函数 与 在区间 上都有定义.若 则称 是xf(FI ,)(IxfF )(xF在区间 上的一个原函数.)(xfI原函数问题的基本内容: 存在性,个数,求法.原函

2、数的存在性: 连续函数必有原函数 . (下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数 ;若 在区间 上有原函数,则 在区间)(xfI)(xf上有介值性(Darboux 定理).I原函数的个数:Th 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 Const， 都是)(xFfIccxF)(在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有)(fI)(xG)(fI. cxG可见,若 有原函数 ,则 的全体原函数所成集合为 . )(f)(xFf cxF)(例 2 已知 为 的一个原函数, =5 . 求 .x2)2(F2 不定积分 原函数族: 定义,不定积分的记法,几何意义.例 3 ; . ca

3、rtgd21cxd321643 不定积分的基本性质: 以下设 和 有原函数.)(xfg . (先积后导, 形式不变). dxfdfdxf ) ),( )( . (先导后积, 多个常数) cxfc() 时，0k.)(kxf )()( dxgfdgf由、可见, 不定积分是线性运算, 即对 , 有R, 21k.)()()()(121 xxfkxkxf(当 时,上式右端应理解为任意常数).021k例 4 . 求 . ( =2 ).cxdxf3)( )(f)1f二. 不定积分基本公式: 基本积分表. 1P179 公式 114.例 5 . 3x三利用初等化简计算不定积分: 例 6 . 求 .nnaxxaP

4、110)( dxP)(例 7 .)2( 224 ddx例 8 .21例 9 .dx)(2例 10 ; x210.213dxe例 11 .xd22sin sinco65例 12 .2sincod2 换元积分法与分部积分法 一. 第一类换元法 凑微法：由 ,2cosin10)2(sini52sini52sin 444 xddxxdxd s)(co10 444引出凑微公式.xu2sin si55cxuTh1 若 连续可导, 则,)()(xFdf )(.)()(ctFdttf该定理即为: 若函数 能分解为 就有tg,)(tg)()()( tfdft.tx ctFcxdf )(例 1 .0 ,1 ,)(

5、 amba例 2 .x35sec2例 3 dxd)5cos(2o凑法 1 .)(11)( ufabaxfbaxf例 4 2sin()cssin2 cx例 5 .22 cxartgxd例 6 .21)1(322 cxartgxd66例 7 dxxxdxd 3141)(32.lnc由例 47 可见，常可用初等化简把被积函数化为 型，然后用凑法 1.)(baxf例 8 . 21xd .10504)(xcxartgx255凑法 2 .特别地,有dufkdfkxfk )()()(1和 .ffdf 21)(2 xdfx2例 9 .x2sin例 10 .d例 11 .)1(xcxxarsin212例 12

6、dudddxu12)1()()( 222= .cxculn1ln2凑法 3 ;)(si)(cos)(i dufdfxfconx.)()(sec)(2ftgfxtgf 67例 13 .cosin3xd.sin3xd例 14 .i1l2sec例 15 dtgxtxd6c例 16 .sec1secsecse 222435 xdxtg凑法 4 .)()()( uffxfx例 17 .2ted凑法 5 .)(ln)()(lndfxfxf 例 18 .)l21(d凑法 6 ;)(arcsin)(riarcsin2 dufxdfxf .ftgtfdtgf1)(2例 19 dtarcgxdarcxarct t

7、211)(.ttgtgd2)()(2其他凑法举例:例 20 .ceexexxx )ln()(例 21 22)l()ln(1d例 22 dxtgxdtgxxsecsecsec 268.ctgxtgxd|se|lnsec)(例 23 . 5oin例 24 . dxcsi例 25 2111242 xdxx例 26 .d25；二. 第二类换元法 拆微法：从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即td2cos= =tdxt sin112in td2co= ,si41)co( c引出拆微原理.Th2 设 是单调的可微函数,并且 又 具有原函数. 则有)(tx;0)(t)(tf换元公式 (证).)()(1xt

8、dtfdf常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1. 三角代换: 正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如 的根式施行2xa)0(的,目的是去掉根号.方法是: 令 ,则)0( ,sintax69,cos2tax,costdax.arcsinx例 27 ,2d).0(解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例 28 . cxctdtxt arsin2cosin)1(2sin（ 参阅例 11 ）例 29 utxt dxd sin32122)(3. cxcuu 22 arcsinsin4cos3正切代换: 正切代换

9、简称为“切换”.是针对型如 的根式施行2a)0(的, 目的是去掉根号. 方法是:利用三角公式 即 令 ,1sec2tg,sec2ttg.此时有 变量还原时, 常用,atgxtd2sec,2txa.axr所谓辅助三角形法.例 30 . 2x解 令 有 . 利用例 22 的结果, 并用辅助三角形, 有,tgtdd2sec=tIsec cxtg2lnln2= .l ,2l cx例 31 .0 ,)(2axd正割代换: 正割代换简称为 “割换”. 是针对型如 的根式施行的, 2ax)0(目的是去掉根号.方法是利用三角公式 令 有,1sec22tgt,sect70变量还愿时, 常用辅助三角形法.,2at

10、gx.sectgdxd例 32 ,2).0(解 2axdtxsecctgtdatgselnsc.,lln22ax |lna例 33 .12xd解法一（用割换） .1sincosec 22 cxcttdtgItx解法二（凑微）参阅1P196 E10. 2. 无理代换:若被积函数是 的有理式时, 设 为 的最knnxx ,21 )(kii小公倍数,作代换 , 有 . 可化被积函数为 的有理函数.nxtdtt1 ,t例 34 .dex例 35 tdttdxxt 16)(16232.cx636ln若被积函数中只有一种根式 或 可试作代换 或nbax,necnbaxt. 从中解出 来.necxbat71

11、例 36 . 321xd例 37 .例 38 (给出两种解法).sindx例 39 tdtxdxt 2)1()( 12112223 2. cctdtt 23253524 )()()(本题还可用割换计算, 但较繁.3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉12xshasht型如 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: 2xaachtdx.2)12(),1(22 stcstcht ).1ln(21xx例 40 dhactdxaht2ctst24)12(2.xaxa)ln(2本题可用切换计算,但归结为积分 , 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例 3.td3sec例 41

12、 ( 例 30 曾用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).2xd解 .2 12ln 2xctdtchsht c72.2ln .)2ln( ccx例 42 . ( 例 32 曾用割换计算过该题 . 现用曲换计算 ).2axd解 caxctdtshIct 1 ln2.|l .| ln2cax4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数 , 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换 .1,2dtxt例 43 01224224 1)( tuxud. cxcxcttdttdt |11)1(112 221225 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参 1P194). 令 ,就有2tg，221secosin2i txtgx， ,1cos2tx2tg,2td.arctgx例 44 .d解法一 ( 用万能代换 ) .cxtgdttIxtg 21222