反比例函数讲解.doc

1、反比例函数知识点总结知识点 1 反比例函数的定义一般地，形如 （k 为常数， ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个xy0方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是 的一切实数，函数值的取值范围是 ；0y比例系数 是反比例函数定义的一个重要组成部分；0k反比例函数有三种表达式： （ ） ，xy （ ） ，1k0 （定值） （ ） ；k函数 （ ）与 （ ）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数xy0yx0k时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数， ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时， ，就不是反比例函 xk数了，由于反比例函数 （ ）中，只有一

2、个待定系数，因此，只要一组对应值，xk0就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数 （ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，yk就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ，函数0x值 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，0y但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函

3、数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 （ ）xky0的k符号 0k图像性质 的取值范围是x，y 的取值范围0是当 时，函数图k像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 的取值范围是x，y 的取值范围0是当 时，函数图k像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象

4、限内，y 随 x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当时，y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。0k反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如在第一、第三象限，则可知 。0k反比例函数 （ ）中比例系数 k 的绝对值 的几何意义。xky如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则 OEFSF矩 形k 反比例函数 （ ）中， 越大，双曲线 越远离坐标原点； 越小，ky0kk

5、k双曲线 越靠近坐标原点。x 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。反比例函数要透过图像理解知识点若 k 为常数，则函数 y=k/x 就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x 和 y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以 x 可以是任意不等于 0 的实数。同时，函数式有时候也写成 y=kx（-1）或者 k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础，它们的应用一样广泛，所以不要轻视反比例函数。那么，怎样学好反比例函数？其实反比例函数不难，只要能理清思路，把反比例函数知识点理清，把反比例函数图像理解透彻，一切是那

6、么容易，总之，只要你能熟练数形结合，任何函数学习都会轻松很多。以下是反比例函数知识点总结：一、反比例函数的表达式X 是自变量，Y 是 X 的函数y=k/x=k1/xxy=ky=kx（-1）（即：y 等于 x 的负一次方，此处 X 必须为一次方）y=kx(k 为常数且 k0，x0）若 y=k/nx 此时比例系数为：k/n二、函数式中自变量取值的范围k0；在一般的情况下，自变量 x 的取值范围可以是不等于 0 的任意实数；函数 y 的取值范围也是任意非零实数。解析式 y=k/x 其中 X 是自变量，Y 是 X 的函数，其定义域是不等于 0 的一切实数y=k/x=k1/xxy=ky=kx（-1）y=

7、kx(k 为常数(k0），x 不等于 0）三、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近 X 轴 Y 轴但不会与坐标轴相交（K0）。四、反比例函数中 k 的几何意义是什么？有哪些应用？过反比例函数 y=k/x（k0），图像上一点 P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积 S=x 的绝对值*y 的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数 k 有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点 P 作 x 轴、y

8、 轴的垂线 PM、PN，垂足为 M、N 则矩形 PMON 的面积 S=PMPN=|y|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，它们与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积为常数。从而有 k 的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中 k 的几何意义，会给解题带来很多方便。五、反比例函数性质有哪些？1.当 k0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，函数在 x0 上同为减函数；k0 上同为增函数。定义域为 x0；值域为 y0。3.因为在 y=k/x(k0)中，x 不能为 0，y 也不能为 0，所以反比例

9、函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与 y 轴相交。4.在一个反比例函数图象上任取两点 P，Q，过点 P，Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 S1，S2 则 S1=S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点（m、n 同号），那么 AB 两点关于原点对称。7.设在平面内有反比例函数 y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n2+4km（不小于）0。8.反比例函数 y=

10、k/x 的渐近线：x 轴与 y 轴。9.反比例函数关于正比例函数 y=x，y=-x 轴对称，并且关于原点中心对称.10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线，交于 q、w，则矩形 mwqo（o 为原点）的面积为|k|11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点反比例函数知识点总结知识点 1 反比例函数的定义一般地，形如 （k 为常数， ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：x 是自变量，y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范围是 的一切实数，

11、函数值的取值范围是 ；比例系数 是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式： （ ）， （ ）， （定值）（ ）；函数 （ ）与 （ ）是等价的，所以当 y 是 x 的反比例函数时，x 也是 y 的反比例函数。（k 为常数， ）是反比例函数的一部分，当 k=0 时， ，就不是反比例函数了，由于反比例函数 （ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数 （ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点 3 反比例

12、函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ，函数值 ，所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多，画的图像越精确；连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质

13、，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 （ ）的符号图像性质 的取值范围是，y 的取值范 的取值范围是，y 的取值范围是当 时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。围是当 时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说，当 时，y 随 x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数 k 的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。如 在第一、第三象限，则可知 。反比例函数 （ ）中比例系数 k 的绝对值 的几何意义。如图所示，过双曲线上任一点 P（x，y）分别作 x 轴、y 轴的垂线，E、F 分别为垂足，则 反比例函数 （ ）中， 越大，双曲线 越远离坐标原点；越小，双曲线 越靠近坐标原点。 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=x。