经济数学基础(上)--导数与微分笔记整理.doc

1、经济数学基础（上）数学笔记整理第二章 导数与微分（P49）目录一、 导数的符号要清楚 .1二、 导数的几何意义 .1三、 可导与连续的关系 .1四、 导数的基本公式与练习题 .1五、 切线方程问题 .3六、 复合函数的求导 .4七、 隐函数的导数 .7八、 高阶导数 .7九、 微分 .8十、 可微、可导和连续、极限的关系 .9第 1 页，共 9 页。一、 导数的符号要清楚（P51，52 都有） ，最简单的就是 二、 导数的几何意义（P55）函数 y=f（x）在点 处的导数 就是曲线 y=f（x）在点（ ）处切线的0 （ 0） ， 0， 0斜率，k= ，切线的方程为 y（ 0） 0=（ 0） （

2、 0）三、 可导与连续的关系（P56，2.1.5）定理 2.1 和注意可导 连续（充分条件）y=f（x）的图像在点 处出尖，则 f（x）在 处不可导。例：y= ，图像如下, 此时，0 0 |当 x=0 时，图像出尖，不可导。四、 导数的基本公式与练习题（P6566，2.2.6 的1.，2.，3.， ）就记书上的前 8 个就行了，其他的不用记再多记 2 个： （1） =12 （ ） =12【练习 1：求导】 =52+332+4+7解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。 =52+332+4+7 【注意 ln7 为常数，常数的导数为 0 哦！】=109422+4（ ） +0= 1094224 =（

3、 1+2）（ 523+1）解决此题有 2 种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。方法一：直接求。要用到乘积的导数。 （先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪第 2 页，共 9 页。个方法简单了。 ）=（ 1+2） （ 523+1） +（ 1+2）（ 523+1） =2（ ）+523+1 （ 1+2）（ 103）=1026+2+103+2026=30221方法二：先打开，再求导。=（ 1+2）（ 523+1）=523+1+10362+2=1032+1 =30221【练习 2：求导】 =345+6解： 【注意

4、：ln6 为常数，导数也为 0 哦！】=1235 =4+35解： =4+3+5 =22解： =22+222 =+解：=+1=43 +1很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。解：=43 +1=（ ）4312+1 1=42 12+1=8+12 322=22+1这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。 。 。注意所有公式都必须要会背哦！解： =（ 22） （ +1） （ 22）（ +1） （ +1） 2=（ 22） （ +1） （ 22）（ +1） 2第 3 页，共 9 页。=2+22（ +1） 2【书上的题 P75，3，4】P75,3.求导（

5、2） =2（ 2+）这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。 =2（ 2+）=22+52=4+5232（4）=21+43此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。（ ） =12，和 （ 1） =12如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导。 解： +=212 12= +1 12方法二：若并不会背那两个公式，你也可以解题的。先把它化成指数的形式再求导就行了。解：=21+43=2121+43 =21212（ 1） 2= 【写成这样就行了，不用再化成根号了 】12+2（8）=22+22这题化简也不容易，

6、直接来商的导数吧！解：=224 +224第 4 页，共 9 页。=43P75，4.求导（3） =2解： =2+2= （ 2+）【怎么样，这些导数还算简单？】五、 切线方程问题从导数的几何意义可知， 表示曲线 y=f（x）在点（ ）处切线的斜率。所以（ 0） 0， 0求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。例 1：求曲线 y= 在点（3,9）处的切线方程2解： =2k= （ 3） =6方程为 ，即9=6（ 3） =69例 2：求 y=lnx 在 x=1 处的切线方程写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！解：y（1）=

7、0切点为（1,0）=1k= （ 1） =1方程为 =1六、 复合函数的求导（P58，2.2.2）学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？【求导的方法：】 分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧） 分别求导 将导数相乘 把中间变量（u、v、s、t）代回来下面有 2 道例题，每道题都分为“初级、中级、高级” ，哈哈，请对号入座你目前处于什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。例 1：求导： =（ 2+1）初级：按照上边的方法一步一步来的说解： 分解： =， =， =2+1分别求导：（ ）

8、 =1， （ ） =， （ ） =2第 5 页，共 9 页。将导数相乘:=()（ ） （ ） =12把中间变量（u、v）代回来：【如果不知道余切公式，可以不用= 1（ 2+1） （ 2+1） 2=2（ 2+1）化成余切】中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导解：= 1（ 2+1） （ 2+1） =1（ 2+1） （ 2+1） （ 2+1） =1（ 2+1） （ 2+1） 2=2（ 2+1）高级：你懂的解： =（ 2+1）（ 2+1） 2=2（ 2+1）例 2： =2（ 23+）你应该知道， =2（ 23+） =（ 23+） 2初级：一切从分解复合函数开始解： 分解： =2， =， =23+

9、分别求导： （ ） =2， （ ） =， （ ） =62+1将导数相乘: =()（ ） （ ） =2（ 62+1）把中间变量（u、v）代回来：=2sin（ 23+） （ 23+） （ 62+1）=sin2 【如果不会二倍角公式，这步可以不写】（ 23+） （ 62+1）= sin（ 43+2） （ 62+1）中级：解： =2sin（ 23+） 【 sin（ 23+） 】 =2sin（ 23+） （ 23+） （ 23+） =2sin（ 23+） （ 23+） （ 62+1）第 6 页，共 9 页。=sin2（ 23+） （ 62+1）= sin（ 43+2） （ 62+1）高级：解： =2si

10、n（ 23+） （ 23+） （ 62+1）=sin2（ 23+） （ 62+1）= sin（ 43+2） （ 62+1）复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。【书上的题，P76，7（3） （21） （6） （12） （20） （22） 。前 2 道是课堂练习，后 4 道为作业题】P76，7.求导（3） =（ 21） 12解： =（ 21） 12+（ 21） （ 12） =212+（ 21） 2212=2（ 12） （ 21）12=42+212（21）

11、 =312哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦看看是有多复杂的题吧。呵呵，看的懂吗？ 解：=3， =， =12=2=3123（ 12） （ 23）= 31232312第 7 页，共 9 页。=23123123下边 4 道题，凡是抄过我作业的同学，你们写的过程都至少有 4、5 步，看不懂下边过程的，看作业上的去。如果还不会的话，问我。（6） =22+5解：= 22222+5=122+5（12）=21解：=21+21（ 12）=211（20） =3解： =（ 1） 3+（ 33）= （ 3+33）（22） =5解： =55（ ） =55（ +1）【练习：求导数（复合函数） 】 =（ 23+1）

12、 20解： =20， =23+120= （ 23+1） 1962 =3（ 2+4）现在都应该知道 了吧，不解释。=3（ 2+4） =（ 2+4） 3解： =3， =， =2+4=32（ 2+4） （ 2+4） （ 2+4） =42解： =4， =2， =4242（ ） =3解： =（ 1） 3+33=（ 3+33）第 8 页，共 9 页。=21解：=21+2（ 1） （ 12）=21+1 =cos（ 2+4）解： =， =， =， =2+4=（ 2+4） 12+4 122+42=（ 2+4）2+4 =22解： =22+2（ 22）=2（ 222）七、 隐函数的导数（P62）隐函数求导的方法：（

13、书上有 P62）直接来例题试试看：例 1：已知方程 确定了函数 。3+1=0 =（ ） ，求 解： ，=3+1 =3例 2：已知方程 确定了 。+=2 =（ ） ，求 解：+1=2=21=21例 3：已知方程 确定了函数 。3+2=2 =（ ） ，求 解： 32+2=2+2322=22=22 322例 4：已知方程 确定了函数 。42+= =（ ） ，求 解： 8+=8= 8第 9 页，共 9 页。八、 高阶导数（P66）一阶导数：=二阶导数： =（ ） 三阶导数： =（ ） 二阶导数及二阶以上的导数，都叫高阶导数。n 阶导数： （ ） =（ 1） 例 1： =34+52=123+10， =3

14、62+10， =72， （ 4） =72（ 5） =（ 6） =（ ） =0【 】=0+11（ ） =0！ （ +1） =（ +2） =0例 2：=2，求 （ 2）解： =22=2222=242（ 2） =2九、 微分（P68）1. y=f（x）在点 x 处，将 dy 记作 y 的微分。 。dx 记作 x 的微分，是一个必须=要带着的符号。如何判断方程的左边与右边呢？有 dx 的就是方程的右边。2. 求微分：求导，后边再加上 dx 就可以了。如下： =（ 2+2）解： =2（ 2+2） =2（ 2+2） =（ 34+5）解：=123+534+5=123+534+5 =6+62解： =16+62=1656