谈谈对于微分符号 df 的理解.doc

1、谈谈对于微分符号 df 的理解转载 2011-11-11 14:15:02| 分类： math|举报|字号 订阅 Cracker (rock) 于 (Thu Aug 6 10:37:13 2009) 提到: 发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics 标 题: 谈谈对于微分符号 df 的理解 发信站: 北大未名站 (2003 年 05 月 28 日 07:29:07 星期三) , 站内信件 这两天，不断有人问起这个问题，倒值得认真讨论一下。记得别人回忆 陈省身先生的文章里也提到，五十年代时，研究生们看到他在黑板上随意 写下外微分表达式 dx，还会觉得惊

2、讶和迷惘。我在这里重新整理了一下 自己以往的认识。这里写下来，就正于大家，也许对学习微分流形的朋友 会有帮助。 问题的确切表述，应该是这样： 给定微分流形 M 上的可微函数 f，问表达式 df = f_i * dxi 的确切含义是什么？ 这里 xi 表示一个局部坐标系的坐标分量，f_i 表示 f 对 xi 的偏导数。 这个表达式，其实在多元微积分里已经出现了。估计最初大家都跟我一样， 把它当作是一个方便的形式记号。在当时的条件下，df 可以理解为 n 元函数 f 的 Jacobian 的另一种表达方法。注意这时的 Jacobian 应该是一个 n 元向量，则 f_i 表示的是此向量的各个分量，

3、而 dxi 意味着此分量表达 是相对于坐标 xi 而确定的。 从微分流形的观点而言，我们可以有更好、更深入的看法。我们不妨设想自己 处于这个理论创立者的地位上，那么很自然地要考虑：给定微分流形 M，上面有什么自然的构造？ 显然，如果光有 M 本身，可做的事情少得可怜。这时，一个有意义的想法， 就是考虑某些典则/典型(canonical/model)的流形，然后考虑 M 与此流形 的关系，利用这种关系来刻划 M 本身的结构和性质。 要找这样的模板，最自然的选择莫过于欧氏空间(须知流形本来就是局部以欧氏空间为模板而“搭” 起来的) ，而对高维欧氏空间的研究，无外乎是多元微积分， 结果最后还要归结到

4、一元函数论。因此，最基本的选择，就是取实数集 R(视为一维流形)来作模板。 取定 M 和 R，我们该考察它们间的什么关系呢？有一定见识的同学，自然会 认识到，在一个给定范畴中，定义好基本概念和对象后，紧接着该考虑的就是 这些对象间的映射关系。所以，我们现在有两类最基本的研究材料：一类是 R 到 M 的可微映射，一类是 M 到 R 的可微映射；前者就是 M 上的曲线，后者就是 M 上的函数。 再接下来，我们决定，先研究相关的局部性质，因为这显然最容易着手，也是 最基本的。从微积分的经验，我们可以预想到应当引入对曲线和函数的线性逼 近，这对应于微分运算，而这也正是我们该做的事情。(须知流形本来就是

5、为了推广微积分理论而发明的最一般的框架。) 现在我们限于 M 上一点 p 附近来做，则上述一阶逼近的考虑，会引导出两类东西。一类，是过 p 点的曲线在 p 点的微分，它可以描述为一个等价类，其 中等价的对象是在 p 点彼此相切的曲线，它们并且有相同的“瞬时速度”( 注 意我们用到的不仅是曲线，而且还包括其参数化，即具体的从 R 出发的映射)。我必须马上指出，“相切” 这个概念是有意义的，因为我们可以利用局部坐标 系转化到欧氏空间里考虑，而“相切”的性质与坐标选取无关。另外还请注意， 这个看法，既是直观的(借助了几何图象)，同时又是抽象的(采用了等价类的 代数描述)。好了，我们再来看第二类对象，

6、它们是任意函数在 p 点处的微分，它们同样可以描述为一些等价类，其中每一类里包含的是一些在 p 点邻域上 取值的函数，它们沿任意方向的方向导数相同。同样我要在这里提醒大家注意，这里沿某方向的方向导数是良定的(well-defined) 。(如果有人担心这里的 “方向”和“方向导数”概念还没有建立起来，那我可以修改为“沿过 p 点的 任意可微曲线，此函数在 p 点的导数”。) 这两类东西，作为对应映射在一点的线性化，本身就自然带有线性结构。第一 类对象，构成了 p 点的切空间；第二类对象全体，恰好构成前者的对偶空间，即余切空间。把各点处对应的这些空间联系起来看，就给出了切丛和余切丛。 回头来看开

7、头的表达式，则左边的 df，其实就是由 f 决定的一个“余切元素” (记住，它代表一个等价类)。右边呢，xi 作为给定的局部坐标，也就自然 给定了 n 个坐标函数，这些函数分别决定了 n 个余切元素，且构成 p 点处 余切空间的一个基底，它们就是 dxi，而 df 就可以由它们线性表示。巧得 很，这样表达出来的坐标分量，正好是 f 沿对应方向的偏导数。 话说到这里可以结束了，但我想把有关的东西进一步解释清楚点。接着原式， 如果我们把 f“遮” 起来不看，则左边的 d 表示一个全微分记号，而右边 表示的则是一个求和，其中每一项里都包括一个切向量(d/dxi)和一个余切 元素(dxi) 。这样一个

8、抽象的表达式，恐怕更让人困惑，因为看起来每一项 中对应的切向量和余切元素是彼此对偶的，为什么没有消去，却可以这样分开 来写呢？ 反思一下切元素跟余切元素的对偶关系，其实从前头“两类映射的方向相反” 就可以看出苗头。为了说清问题，不妨回归到最原始的情形：RR 的映射。 设自变量和因变量分别是 x 和 y，映射为 f，我们有熟知的表达式 dy = f(x)dx。 再简化一点，即 d = (d/dx)*dx。 我们也一直把这种表达方法当作一个形式记号，简单理解为右边的分子分母 可以“相消 ”。这种说法当然是糊涂的，但一直都很难澄清。而我要指出， 这个表达式可以理解为对前述对偶关系的一个说明。 从代数

9、眼光来看，要在空间 X 和 Y 之间建立对偶关系，等于指定一个双线性的赋值函数 F：X*Y R，X*Y 表示 Descartes 积。现在，我们指定 X 为 R 在一点的切空间，Y 为对应的余切空间，取前者的一个元素为 d/dt(它可以 由一个从 R 到 R 的映射 L 来代表，L(t)=x)，后者的一个元素为 df (它可以用一个 R 到 R 的映射 f 来代表)，则有一个自然的二元赋值 , 定义为 = df/dt， 后者理解为函数 f 对参数 t 求导，并且在 p 点取值，得到的就是一个导数。 注意它与代表元的选取无关。 与此同时，我们其实还有另一种赋值的方法。注意我们已经取定 R 的一个

10、坐标 x，并且得到了切空间的基底 d/dx 和 余切空间的基底 dx。利用它们以及前面定义的，我们定义二元赋值 ， 为 _ , _ = * 于是立即有 d/dt, df = * = (dx/dt)*(df/dx) = df/dt = ！ 我这里故意给同一个二元赋值写出两种表达方式，并非无聊，而是这里涉及到了 微分的一个最基本的性质：微分形式的不变性(求导的链式法则)。根据它，我们 看到， ， 的定义式中利用哪个局部坐标 x 并不重要；换句话说，用任何一个 局部坐标都可以。于是，我们可以把 d = (d/dx)*dx 这个式子的左边理解为 ，也就是直接把切元素和余切元素相配合 (求导)，而把这个

11、式子的右边理解 为 ，。换句话说，d = (d/dx)*dx 可以理解为一个断言，说明同一个二元 赋值的内蕴表达和相对于某个坐标(基底)的参数表达是“同一”的。 这样解释过后，我们可以看到，微分 df，实质上对应于 ，它是切空 间上的一个线性泛函，从而是切空间的对偶空间里的元素。如果进一步与切向量 作配对，就得到导数。这就阐明了“导数”和“微分” 不是一回事，“导数”乃 是“微分 ”与“切向量”之间配合而得到的二元赋值。再看开头的表达式 df = sum (df/dxi)*(dxi) 和 d = sum (d/dxi)*(dxi)， 都可以作类似的解释。 现在再来看看通常对切向量和微分的各种理

12、解。一种观点是直接看一个流形浸入 到欧氏空间后所得到的图形，把切空间与具体的切线、切平面相联系。这种看法 非常有用。但是从理论上来说，它只是说明了抽象的切空间如何借助一个到其它 流形的浸入而得到几何上的“实现”，从而不是对切空间的“内蕴刻划”。而我 前半部分花那么大力气来解释一番，其目的就是强调这个内蕴观点(不过这个讲法 得自于陈省身先生的)-注意，我当然还是利用了某种外在的 东西，也就是 M 与 R 之间的映射。这种想法，类似于研究群在集合上的作用(特别是线性表示) 以得到群的内在性质和信息的思路。这个不多说了。再看有人 把 dx 解释为一种测度，这当然也有道理，因为几何测度论里的确是采用这

13、种观 点的。但我们仔细琢磨一下，尤其是回归到最基本的 RR 的映射来看，就可 以认识到，这不过是利用了可微映射，把 R(和一般的欧氏空间)上的测度拉到了 流形上。这样讨论测度，固然间接反映了流形的微分结构，但还是一种“外在” 的观点，对研究几何、拓扑的观点来说失去了许多结构，不值得向大家推荐。 发信人: symplectic (身无彩凤双飞翼), 信区: Mathematics 标 题: Re: 谈谈对于微分符号 df 的理解 发信站: 北大未名站 (2003 年 05 月 28 日 17:32:20 星期三) , 站内信件 昨天还想补充一点内容的，不过系统忽然连不上，只好补在这里。 hibe

14、rnating 在前面的 re 文中还说了“函数芽”的理解。不过以我的观点来看， 那种说法未免太代数化了，恐怕是学交换代数的人弄出来的。在同调代数和代数 几何里面，的确可能需要采用这种观点来研究，不然也不会有什么“层论”。但 在初学阶段，我以为重要的在于培养基本的几何直观，这样“函数芽”的有关讲法 就不适当了。(我相信大部分初学者看了那个解释还是会一头雾水，不知所云。)另外，考虑函数的高阶逼近，同样可以得到一堆等价类，相应也会得到流形上的 一些丛构造，似乎就是称为 jet 的对象，据说是 Darboux 最早提出的。尽管 一般的教材里不谈它，但我发现它是一个有用的观念，在研究流形的某些结构时

15、必然会用到它，甚至可以建立某些很漂亮的代数和分析结果。(它跟函数芽的概念 有些接近，但我不是很清楚其间的关联。) 另外，直接把 df 理解为全微分，也是省事的办法，但并没有解释清楚这套形式 符号背后的实质内容。还有，要说清这个东西，也没必要谈“外微分”，因为外 微分本身是余切丛及其张量丛上的一个算子，“余切元素”应该理解为它的出发 点；倒过来解释的话，其实什么都解释不了。 注：1、这位前辈貌似换 ID 了，新 ID 叫 lorentz （如果我没记错），现在貌似在 pku 当老师（教本科微分几何？）。 2、fft 当年在未名的 MJ 貌似和水木上一样，不过我似乎只记得一个讨论数学分析的合集帖子。当时 fft 力挺 Zorich，另一帮人貌似强挺 “菲赫”，然后就此展开学术讨论