函数极限习题.doc

1、1习题 121确定下列函数的定义域：（1） ； （2） ； （3） ；912xy xyarcsinlogxysin2（4） ；（5）)3(log3xa )4(log21a2求函数 )0(sinxy的定义域和值域。3下列各题中，函数 和 是否相同？)(xfg（1） ； （2） ；2,)(gxf 2sin1)(,cos)( xgxf（3） ； （4） 。1)(,12x 0,4设 证明：xfsin)( 2cosin2)( xff 5设 且 ，试确定 的值。5)(2baf 381xxba,6下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1） （2） ； （3） ；)1(2xy2y

2、21xy（4） ； （5） （6） 。 1cosinxa7设 为定义在 上的任意函数，证明：)(xf ),(（1） 偶函数； （2） 为奇函数。xfF )()(xfF8证明：定义在 上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。,9设 定义在 上的奇函数，若 在 上单增，证明： 在)(xf ),(Lf,0L)(xf上也单增。)0,(L10下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1） （2） ； （3） ；)cos(y xy4cosxysin1（4） ； （5） （6） 。x2inta311下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1

3、） （2） ； （3） ；tysin,32,xuay2,logxuya（4） （5） （6） 。xu 12下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1） （2） ；321)(y 2)1(xy（3） （4） 。sinx3coslga13求下列函数的反函数：（1） ； （2） ； （3） 。yi2 )2(lxya 12xy214已知函数 ，试求 。yxxyftan),(2),(tyxf15已知函数 。试求 。vuwvu16求下列各函数的定义域：（1） ；zyx1（2） 。)0(12222 rRrzyxRu习题 131利用数列极限定义证明：如果 ，则 ，并举例说明反之不然。Aunlim|liAun习题

4、141设 )1()(2xxf（1）作函数 的图形； （2）根据图形求极限 与 ；fy )(lim1xf)(li1xf（3）当 时， 有极限吗？x)(2求下列函数极限：（1） ； （2） ； （3） 。|lim0x |lim20xx|li20xx3下列极限是否存在？为什么？（1） ； （2） ； （3） ；xsinlxarctnlix1coslim0（4） ； （5） ； （6） 。)e(x1|e习题 15求下列极限1 ； 2. ； 3. ；)(132limnx 22limnnx 35lim2x4 ； 5. ； 6. 。1lix hxh0)(li1li习题 161求下列极限：（1） ； （2）

5、； （3） ；)0(sinlm0bxax 30sintalimxxxxsinco1lm0（4） ； （5） ； （6） ；it2lrcli 2l3（7） ； （8） ； （9） ；tt1lim31limxx xxcot0)an1(lim（10） ； （11） ； （12） 。xxali 22lixx x2li2利用极限存在准则证明：（1） ；121li 22 nnx （2）数列 ，的极限存在；,（3） 。1lim2x习题 171当 无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？n（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。1)(nn2ncos12已知函数 xxe,)1l(,si2（1）当 时，上述各

6、函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？0x（2）当 时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（3） “ 是无穷小” ，这种说法确切吗？3函数 在 是是否有界？又当 地，这个函数是否为无穷大？xycos),(x为什么？4求下列极限（1） ； （2） ； （3） ；10!limnx 2limnx nxba21lim)|,|(ba（4） ； （5） ； （6） ；13(linx li1x 154li21xx5求下列极限：（1） ； （2） ； （3） ；xxsielimxcoslim0nnsilm（4） ； （5） ； （6） 。arctnli xartnelixxarcteli6下列各题的做法是否

7、正确？为什么？（1） )9(lim9li22xx（2） 01li11(li 22 xxx（3） 。0licoslicsx7证明：当 时， ， 。0arnarctn8利用等价无穷小的性质，求下极限：4（1） ； （2） ；xx3sin2lm0xxarctn2silm0（3） （ 为正整数） ；（4） 。)(, os1i9当 时， 是 是多少阶无穷小？31x10当 时， 是 是多少阶无穷小？x411当 时， 是 是多少阶无穷小？xsin1习题 181研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1） ； （2） ；xf)( )21(20)(xxf（3） ； （4） 。)1|()(2f )(|)(2指出

8、下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。（1） ； （2） ； （3） 。32xyxnytaxy1cos23 为何值时函数 在0，2上连续？a)21(0e)(fx4讨论函数 的连续性，若有间断点，判断共类型。xxfnn2lim5函数 在何上是间断的？yz2习题 191设 连续，证明 也是连续的。)(xf|)(|xf2若 在 上连续，且在 上 恒为正，证明： 在 上迹,ba,ba)(xf )(1xf,ba连续。3求下列极限：（1） ； （2） ； （3） ；5lim20xx 4)2(sinlmxxxxsin35lim0（4） ； （5） ；

9、（6） ；aaxsinli liabx x)1l(0（7） ； （8） ； （9） ；20 th 2li35（10） ； （11）42lim22xx 1limxx（12） 。axln)(0习题 1101证明：方程 在区间（1，2）上至少有一个根。35x2设 在闭区间a，b上连续， 是a，b内的 个点，证明：)(xf nx,21 n，使得, ffff )()()(附件习题1用数列极限的定义证明：（1） ； （2） ； （3） ；0)1(limn1)0(limnn 34lim2n（4） ； （5） ； （6） 。32 793)1|(0q2用数列极限的定义证明数列 发散。)1(n3设 ，用数列极限的

10、定义证明极限 。0a 1lina4用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。5下述几种说法与数列 极限是 的定义是否等价，并说明理由。nuA（1）对于任意给定的 ，存在正整数 ，使得当 时，有 ；0Nn|Aun（2）存在正整数 ，对任意给定的 ，使得当 时，有 ；N0 （3）对于任意给定 ，存在实数 ，使得当 时，有 ；M|（4）对于 ，存在正整数 ，使得当 时，有 ；10 n（5）对于任意给定的 ，有正整数 使得当 时，有 ，其中0 KAu|是与 无关的常数；K（6）对于任意给定的正整数 ，都有正整数 ，使得当 时，有 。mNmn1|习题 1821用 语言表述函数极限或无穷大的定义。填写下表：

11、,XAxf)( )(xf )(xf )(xf0x，使得当0,时，有|)(f60x使得当0,XM时，有x|f|)(x2用函数极限的定义证明：（1） ； （2） ； （3） ；31limx 1lim2x )0(limaxa（4） ； （5） ； （6） 。cosli 4li1 elix3用函数极限的定义证明下列命题：（1）如果 ，则 ；BxgAxf)(li,)(li00 BAgxf)(li0（2）如果 ，则),m。Axgf(li4用 H ine 定理证明函数极限的四则运算法则。5证明极限 不存在。xxsinl6若 在 上连续，且 存在，证明： 在 上有界。)(f),a)(limxf)(xf),a7设 在 上连续，又 ，且 ，则 ，b BfAbax li, A),(BA，使得 。),(0bax)(0xf8设 在 上连续，如果 ，数列 收敛，且 ，证明：f,a,nnx)(limnxf，使得 。),(0)(0f