抽样方法、正态分布.doc

1、抽样方法、正态分布重点、难点讲解： 1抽样的三种方法： 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。2了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个 体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 3正态曲线及其性质 正态分布常记作 N( ) ，其正态分布函数：f(x)= , x(-,+) 。 把 N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)= , x(-,+) 。 正态图象的性质： 曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交。 曲线关于直线 x= 对称。 曲线在 x= 时位于最高点。 当 x 时，曲线下降，并

2、且当曲线向左、右两边无限延伸时， 以 x 轴为渐近线，向它无限靠近。 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分 散； 越小，曲线越“ 瘦高” ，表示总体的分布越集中。 4一般正态分布与标准正态分布的转化 对于标准正态分布，用 表示总体取值小于 x 0 的概率，即 =p(xx 0 )，其几 何意义是由正态曲线 N(0,1)，x 轴，直线 x=x 0 所围成的面积。又根据 N(0,1) 曲线关于 y 轴的对称性知， ，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率 。 任一正态总体 N() ，其取值小于 x 的概率 F(x)= 。 5了解“小概率事件” 和假设检验

3、的思想。 知识应用举例： 例1为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，从503名大学一年级学生中抽取50 名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？ 思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法 从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。 解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，503 第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生 重新编号。 第三步：确定分段间隔 k= =10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一 部分的个体编号为1，2，10；第二部分的个体

4、编号11，12，20；依此类推， 第50部分的个体编号491，492，500。 第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。 第五步：依次在第二部分，第三部分，第五十部分，取出号码为 17，27，497，这样就得到了一个容量为50的样本。 例2对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计电子元件寿命在100h400h 以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h 以上的概率； （5）估计总体的数学期望。 思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体 的期望。 解：（1）样本频率分布表如

5、下： （2）频率分布直方图如下： （3）从频率分布表可知，寿命在100h400h 的元件出现的概率为0.65；（4）由频率分布表可知，寿命在400h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35 ， 故我们估计电子元件寿命在400h 以上的概率为0.35。 （5）样本的期望为： 所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。 例3正态总体为 =0, =1时的概率密度函数是 f(x)= , x(-, +) , （1）证明 f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明 f(x) 的增减性。 证明：（1）任意的 xR，f(-x)= , f(x)是偶函数。 （2）任取

6、 x 1 x 2 0 ，则 ， ， ，即 f(x 1 )f(x 2 )。 这说明 f(x)在(-,0)上是递增函数， 同理可证 f(x)在(0, +)上是递减函数。 例4随机变量 服从 N(0,1)，求下列值。 （1）P(2.55) （2）P(-1.44) （3）P(|1.52) 思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有： (-x)=1- (x)； P(axb)= (b)- (a)；p(xx 0 )=1-p(xx 0 )。 解：（1）P(2.55)=1-p(2.55)=1- (2.55)=1-0.9946=0.0054。 （2）P(-1.44)= (-1.44)=1-(

7、1.44)=1-0.9251=0.0749。 （3）P(|1.52)=p(-1.521.52)= (1.52)- (-1.52) =2 (1.52)-1=20.9357-1=0.8714。 例5设 ,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x) , x(- ,+)。 （1）求 ， ；（2）求 p(|x-1| )及 p(1- x1+ )。 思路分析：对照正态曲线函数，可以得出 ， ；利用一般正态总体 N( ) 与标准正 态总体 N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2） 。 解：（1）整理得：f(x)= ，所以，=1, ，故 。 （2）p(|x-1| )=p(1- x1+ )=F(1+ )-F(1-

8、 ) = ()- ( )= (1)- (-1)=2 (1)-1 =20.8413-1=0.6826。p(1- x1+2 )=F(1+2 )-F(1- ) = ( )- ( )= (2)- (-1)= (2)+ (1)-1 =0.9772+0.8413-1=0.8185。 例6某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路 程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N(50,100), 第二条线路沿环 城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布 N(60, 16) ， （1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？ （2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？ 思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车 站的那条线路。 解：设 x 为行车时间。 （1）走第一条路及时赶到的概率为： P(0x70)= = (2)=0.9772。 走第二条线路及时赶到的概率为： P(0x70)= ( )= (2.5)=0.9938 。 因此应走第二条线路。 （2）走第一条线路及时赶到的概率为： P(0x65) ( )= (1.5)=0.9332 。 走第二条线路及时赶到的概率为： P(0x65) ( )= (1.25)=0.8944 。 因此应走第一条线路。