复函复习提要.doc

1、1第一章 复数与复变函数【本章教学目的和要求】：（1）熟练掌握复数的各种表示方法及其运算，了解复数运算的几何意义；（2）理解区域，单连通区域，复连通区域和复球面等概念；（3）掌握一些曲线的复数表达式；（4）理解复变函数的概念，了解复变函数的极限和连续的概念。【本章重点、难点】复数的运算，用复数方程表示曲线1.1 复数1、 复数域：1）概念：每个复数 具有 的形状，其中 和 ， 是虚数单位； 和 分ziyxxRy1ixy别称为 的实部和虚部，分别记作 ， 。z zeIm2）复数相等：复数 和 相等是指它们的实部与虚部分别相等。122i3）共轭复数： 4）复数的四则运算定义为：2、 复平面：C 也

2、可以看成平面 ，我们称为复平面。2R作映射： ，则在复数集与平面 之建立了一个 1-1 对),(:yxiz2R应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；3、模与幅角：1）向量的长度称为复数的模，定义为： ；2|yxz若 0z2）幅角：向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为： （ixyz2arctnAg） 。Zk3）复数的三角形式与指数形式表示：三角表示定义为： )sin(co|Argzz指数表示： irez4）开方公式： （ ）nkinz21,204.三点共线问题：两点的参数方程1.2 复平面上的点集1 .概念：领域、内点，外点、边界点、开集与闭集2 .区域3、 连续曲线、简单曲线、简单闭

3、曲线以及连通区域1.3 复变函数1、 单值函数与多值函数22、 极限与连续性：3、 复变函数等价于两个实变量的实值函数：若 ，iyxz，则 等价于两个二元实变函数),(),()Im)(Reyxivuzfizfw )(fw和 。,yxu,yxv1.4 复球面与无穷远点1、 引入一个新的非正常复数无穷远点 ，称 为扩充复平面，记为 。CC2、 无穷远点 的邻域： 与去心邻域：1zz1第二章 解析函数【本章教学目的和要求】(1) 了解复变函数的可导与微分的概念；（2）理解解析的概念；（3）熟悉复变函数解析的充分条件；(4 ) 了解初等解析函数主要性质。【重点、难点】函数解析性的判断，解析函数的充要条

4、件第一节、 解析函数概念与 Cauchy-Riemann 条件1、 复变函数的导数与微分2、 解析函数及简单性质：1）定义：如果 在 及 的某个邻域内处处可导，则称 在 处解析)(zf0z )(zf0注 1、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注 2、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。2）解析函数的四则运算：3、Cauchy-Riemann 条件：定理 2.1（点可微必要条件） 、定理 2.2（点可微充要条件） 、定理 2.3（点可微充分条件）定理 2.4（区域解析的充要条件）定理 2

5、.5（区域解析的充分条件）注解 2、解析函数的导数形式更简洁： yuvyuxvyxvu iiiizf )(注解 3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：如 以及 在整个复平面内解析，而if 2)()(2yiezfxxsnco)(3在任何点都不可微。iyxzf)(第二节：初等函数1、 指数函数：定义复指数函数，为 )sin(coexpyzwxz 从定义得 ；ze,210,2kyArg指数函数是周期 为其基本周期函数；i2指数函数 在整个复平面内有定义并且解析， z zze2、 三角函数与双曲函数：当 时，上述复指数函数0x，)sin(coyeiy，i从而得到： 。2

6、cos,2siniyiiyi ee我们规定 2cos,siniziizi eez并分别称为 的正弦函数 和余弦函数。z是奇函数， 是偶函数；在 平面上是解析的，且sincoz； 及 是 为周期的周期函数。.sin)(,c)( z icos的零点为 ，zsi ),10(,的零点为co.2z事实上， 可以写成 如令 即写成0sin.ize,ibaziniee221故 ，即：),1(2,12 e .,0n所以 是 的零点。),0(,nzzsin在复数域内不能再断言 .1cos,第三节 初等多值函数1 根式函数根式函数4（ 1）定义：）定义： 我们规定我们规定 根式函数根式函数 为为 幂函数幂函数 的

7、反函数。的反函数。nzwnwz),10(2argkezwnin nknkT22:)1,0(都变成都变成 平面上除去原点及负实轴的区域。平面上除去原点及负实轴的区域。z这是函数（这是函数（ 1）的单叶性区域的分法。）的单叶性区域的分法。（ 2）分出）分出 的单值解析分支的单值解析分支nw（ 3） 的支点和支割线的支点和支割线 z一般是具有这样性质的点，使得当变点一般是具有这样性质的点，使得当变点 绕这点旋转一周时，多值函数从一支绕这点旋转一周时，多值函数从一支z变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的函数值相异，变为另一支，也就是说哦，当变点回到原位置的时候，函数值与原来的

8、函数值相异，这样的性质的点，就称为这样的性质的点，就称为 支点支点 。是以是以 为支点的。为支点的。nzwz,0用来割破用来割破 平面，借以分出平面，借以分出 的单值解析分支的割线，称为的单值解析分支的割线，称为 的的 支割支割nzwnzw线线2 对数函数对数函数（ 1）定义：）定义： 我们规定我们规定 对数函数对数函数 是指数是指数 函数函数 的反函数。即若的反函数。即若wez（ 3）,0zew则复数则复数 为复数为复数 的的 对数对数 ，记为，记为wz.Lnz令令 则（则（ 3）就是）就是,ivurei zreeiivuw因而因而 ,102,lnkru故方程（故方程（ 3）的全部根是）的全

9、部根是 ,),(lkirLzw或或 )2(arglnlnziiAg5称为称为 的的 主值主值 ，于是，于是 。zlnLzizargln（ 2）分出）分出 的单值解析分支的单值解析分支.nzw,10),2(l kirkk 仍以仍以 为支点为支点.Lzz,03、 一般幂函数与一般指数函数一般幂函数与一般指数函数 )arg,1(ln2ln zewikazakizzL2l第三章 复变函数的积分【本章教学目的和要求】(1) 理解复变函数积分的概念并了解它的基本性质；(2) 掌握复变函数积分的计算方法；(3) 掌握 Cauchy 积分定理及其推论；(4) 熟练掌握用 Cauchy 积分公式及高阶导数公式计

10、算积分。【重点、难点】柯西积分定理，柯西积分公式及高阶导数公式1.复积分的概念及其简单性质1、复变函数的积分的定义：f(z)沿曲线 C 的积分，记为 .d)(Czf于是我们有： ,d)(),(),(),(dyxuyviyxvuzf CC 积分换元法： ，tzfzfTtd02.复变函数积分的基本性质：设 f(z)及 g(z)在简单曲线 C 上连续，则有（1） 是 一 个 复 常 数 ；其 中 ,d)(Czf（2） ;d)()(Czgzf（3） ，其中曲线 C 是有光滑的曲线nCffzf.)(21连接而成；n,.21（4） 。,d)()(CCzfzf6（5） knknk zfzf 11定理 3.2

11、（积分估值）如果在 C 上，|f(z)|N，p=1,2,3,时， |.|21pnnzz必要条件：1）级数的各项有界；2）通项 充分条件：级数 收敛。1n92、条件收敛、绝对收敛以及发散的判定3、 复变函数项级数1）收敛与一致收敛的定义2）柯西一致收敛准则（复变函数项级数）任给 ，可以找到一个只与 有关，而0与 z 无关的正整数 ，使得当 ，p=1,2,3,时，有)(NEzNn,.|.)()(|21 zfff pnnn3）优级数准则：设 在复平面点集 E 上有定义，并且设,.)(zfn是一个收敛的正项级数。设在 E 上， ,.)21( |)(|nazfn那么级数 在 E 上绝对且一致收敛。)(z

12、fn4、 解析函数项级数以及内闭一致收敛定理 4.9 （魏尔斯特拉斯定理）4.2 幂级数幂级数 .)(. )()(0202100 nnn zzz其中 z 是复变数，系数 是任何复常数。定理 4.10 如果幂级数 在 收敛，那么对满足 的任00)(nnz)(01z|010zz何 z，它都不仅收敛，而且绝对收敛。收敛半径的求法：定理 4.13 如果 的系数满足下列条件之一成立：00)(nnz（1） |,|lim1nn（2） ,|lin那么当 时，级数 的收敛半径 ；当 时， ；当l000)(nnzlR10R.21 na10时， 。l0R4.3、解析函数泰勒展式一、Taylor 展式的形式定理 4.

13、14、设函数 f(z)在圆盘 内解析，那么在 U 内，RzU|:|0.)(!. )(!2“1)(0)( 200nnzffzf称为它在 U 内的泰勒展式。定理 4.15 函数 f(z)在一点 解析的必要与充分条件是：它在 的某个邻域内有定理0 0z4.14 中的幂级数展式。2、初等函数在 0 点的泰勒展式1） ,其收敛半径为.!1.!2nz ze 2） ,其收敛半径为.)!2(14cos nz3） 其收敛半径为.!53innzz4） ,其收敛半径为 1.)1(.2)1l(3zn5) 其中 ，其收敛半径.)(.)(2)1ln( nz zze !).(n为 1。6) ，收敛半径为 10nz利用这几类基本初等函数在 0 点的泰勒展式去求解初等函数在其他点的泰勒展式。4.4、解析函数零点的孤立性和唯一性定理1、 零点的孤立性定义 4.7 设函数 f(z)在 的邻域 U 内解析，并且 ，那么称 为 f(z)的零点。0 0)(zf02、m 阶零点的判定方法：1） 定义法2） 公式法 ： 其中 在 U 内解析。,)(,)()00zzfm)(z第五章 洛朗展式及孤立奇点【本章教学目的和要求】（1） 记住几个主要初等函数的泰勒展式，能熟练掌握把一些简单的初等函数展开