1、多元函数的极限与连续习题1. 用极限定义证明: 。14)23(lim1yxy2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1） ；yxf),(2) ；f 1sin,(3) ；yxf23),(4) 。f1sin,3. 求极限 （1） ；20)(lim2yxxy（2） ；1li20yyx（3） ；20sin)(lixyx（4） 。20ilmyyx4. 试证明函数 在其定义域上是连续的。0)1ln(),(xf1. 用极限定义证明: 。14)23(lim1yxy因为 ，不妨设 ，,2x 0|,| y有 ，54|2| x|13|43|2y|1|2| yxy|15x，
2、要使不等式0成立|1|2|423| yxy取 ，于是1,min， ， ：00,3i),(yx|1|,|2|y且 ，有 ，即证。)1,2(,yx|142|x2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1） ；yxf),(， ，1lim0yx 1lim0yxy二重极限不存在。或 ， 。li0xy 3li20xy(2) ；yxyxf 1sin)(),|i1sn(|0可以证明 所以 。0|)|(lm0yxy 0),(lim0yxfy当 ， 时， 极限不存在，kx1xf 1sin)(),因此 不存在，yxyx1sin(li0同理 不存在。xyi)lim(3) ；y
3、xf23),(，0lim),(li2300fxxy当 P(x, y)沿着 趋于（0,0）时有3，1)(li),(li 2320320 xxfxy所以 不存在；),(lim0yfy， 。,lixfx 0),(li0yxfy(4) xyxf1sin),(|i|0 ，0),(lm0yxfy， 不存在。1sinlixyx xyx1sinli03. 求极限 （1） ；20)(lim2yxxy，|)ln(|4|)ln(| 2222 yx又 ，0lil4li 020 tyxyxty 。1)(lim)2ln(2)0,(,lim220yxyxyxyxe（2） ；1li20yxyx。21)(lim1lim2202
4、0 yxyxyx（3） ； 201sin)(limyxyx，|i)(| 2而 li0yxy故 。01sin)(lim20yyx（4） 。20)sin(lmyxy令 ， ，cosrsir时， ，),(,x0。1sinlmsinl 2020 ryyx4. 试证明函数 在其定义域上是连续的。0)1ln(),(xyxf证明：显然 f(x, y)的定义域是 xy-1.当 时，f(x, y )是连续的， 只需证明其作为二元函数在 y 轴的每一点上连续。0以下分两种情况讨论。（1） 在原点（0,0）处f(0, 0)=0, 当 时0x,0)1ln()1ln(),( yxyyx由于 )l(im0xyx不妨设 ， ，1|)1ln(|xy 2|)ln(|1xy从而 ， 取 ，当 时，02|0,|)1ln(|)1ln(| xyxy，|2|)l(|xy于是，无论 ，当 时，都有0,x|,|)0()(lim0fyfy（2） 在 处。 （),(当 时， 0x |)1ln(|),0(),(| yxyfyxf |1ln|1)ln(| yxy当 x=0 时, ,|,0,|ff注意到，当 时 ，y1)ln(im0xyyx于是，无论 ， 当 时,，|)()(|li0fxfyx即 f(x, y)在在 处连续，,综上，f( x, y)在其定义域上连续。
