1、三角函数 定义 的教学反思 许钦彪 教育部制订的普通高中数学课程标准（人民教育出版社 2003 年 4 月版）第 31 页关于必修 4三角函数的内容与要求是 ： 借助单位圆理解任意 角 三角函数 （正弦、余弦、正切）的定义。根据这个要求，人民教育出版社数学 必修 4（ 2007 年 2 月版）第 12 页给出 的 任意角的三角函数定义为（本文称为定义 1） ： 设 是 一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ),( yxp ， 那么 y 叫 做 的正弦，记作 sin ， 即 ysin ， x 叫做 的余弦，记作 cos ， 即 xcos ， xy叫做 的正切，记作 tan ， 即xytan。 而把
2、原教材中的三角函数定义，在第 13 页用注释给出 （本文称为定义 2） ： 一般地，设角 终边上任意一点的坐标为（ yx, ），它与原点的距离为 r ，则xrrxry t a n,c o s,s i n。并要学生证明。 在实际教学中，定义 1 的优点是简洁明了，缺点是缺乏一般性，在实际解题中不能直接应用。而定义 2 不但简洁明了，而且在一般性 问题中都可以直接应用。例如教材第 12 页的例题： 例 2：已知角 的终边经过点 )4,3(0 P ，求角 的正弦、余弦和正切值。 教材中是先求出 50 OPr ，再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解。 由于涉及到相似比以及符号，
3、结果把这个简单明了的问题搞得复杂化。而且 这种相似比及符号问题没有一般性。如果 在其它象 限，其比值符号仍是一个困难。在讲解 和 学习时， 学生 普遍反映思维别扭、理解不清、难以接受。 如果利用定义 2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响。 解： )4,3(0 P 在 的终边上， 5,4,3 ryx 。 据定义 2，得 34t a n,53c o s,54s in xyrxry 。 同样，第 15 页的练习 2，第 20 页的习题 1.2 的 2 以及须由定义解答的问题都是利用定义 2 容易解答，这是因为很少有问题会在已知中给出终边 上的点刚好是单位圆上的条件，所以用定义 1 解答必须
4、涉及相似比以及符号问题等困难，这是没有必要的。 根据以上分析，建议在教学时，把定义 2 作为任意角三角函数的定义，而把定义 1 作为简化定义。这一节的主要教学步骤可设计为： 1、 定义引入： 学生复习直角三角形中锐角 的正弦 tan,c o s,s in 正切余弦 。 提出问题：现在角 是任意角，这种定义应扩展。 将角 放在直角坐标系中 ，先以简单的情况为例研究。 设 是第一象限角（如图），如何定义 的三角函数，要考虑 两 个因素： 第一，初中中用比 bacbca , 来定义， 现在扩大的定义要包含以前的定义。 第 二 ， tan,cos,sin 要由 唯一确定（否则不是函数）。 学生 经过
5、讨论基本上 能 认同找一个 OPMRt ，教师指出 ,这个 Rt 的实质 是终边上的点 ),( yxP 。 记 。 .22 yxrOP 。 联想第一个因素，可以用比值xyrxry ,来定义 tan,cos,sin 。 进一步讨论这个比值是否由 唯一确定？ 与 P 在终边上的位置有否关系？假如另外取一点 1111 ),( ryxP ，学生易知ryry 11，rxrx11，11xyxy 。即比值与 P 点在终边上的位置无关，由 唯一确定。 于是这个定义是合理的，也就是说以 的终边上的一点 ),( yxP 的坐标 yx, 和 rOP 的比 值来定义三角函数是 符合函数要求的。 进一步可以考虑，以上定
6、义与 所在的象限有否关系（无）， 有否大小限制（无）。 所以，任意角 的三角函数的 定义是：设角 的终边上任意一点的坐标为 ),( yxP ，它与原点 O 的距离为 r ，则xyrxry ta n,c o s,s in。 说明： A：定义中的 P 点是 终边上的任一点。 B：因为 0r ，所以对任何 ， cos,sin 总有确定值，而 0x 即 2 k 时， tan 没有意义。 C：因为角 可以用弧度（实数）表示，所以三角函数建立了角的集合（弧度 表示）与实数集之间的一一对应关系。 给出单位圆概念。 探讨三角函数的简化定义：角 的终边与单位圆交 于点 ),( yxP ，则 1r ，此时定义简化
7、为：xyxy ta n,c o s,s in。 2、 定义的应用： 已知角 终边上一点求三角函数值，讲 练课本 12 页例 2， 15 页练 2。 可用一般 定义解决（点已知代定义） 已知角 的大小求三角函数（课本 12 页例 1）可用单位圆与 终边的交点（点未 知，自己取）， 进 而练习特殊角 23,2,3,4,6,0 的三角函数值，并记忆。 3、 三角函数的定义域： 由定义知定义域，学生填表（课本 13 页）并记忆。 4、 三角函数值的符号： 由定义和点 角 终边上一点 ),( yxP 在各 象限的符号探讨三角函数值在各象限的符 号，学生填表（课本 13 页） 。 记忆和应用（课本 13 页例 3） 。 5、 诱导公式一： 学生探讨，由定义知终边相同的同名三角函数值相等。诱导公式一的作用是把任意 角化 为一周内的角。 应用（课本 14 页例 4，例 5，练习 15 页 5， 6）。 6、 小结：布置课外练习。
